Autovalori nulli in una matrice
Salve a tutti! vi pongo questo quesito:
Data la matrice $ || ( k , 0 , -k ),( 1 , k^2-k , -1 ),( 1 , 0 , -1 ) || $
Trova gli autovalori di Ak.
A me vengono come autovalori 0 e la radice di un -k^3+k^2+k
Il problema è che nel calcolare gli autovettori, vengono entrambi nulli e penso sia facilmente verificabile visto che dall ultima riga che si semplifica con la seconda per k diverso da zero,
$ x=-z $
Può questo essere un risultato corretto? mi confermate?
Data la matrice $ || ( k , 0 , -k ),( 1 , k^2-k , -1 ),( 1 , 0 , -1 ) || $
Trova gli autovalori di Ak.
A me vengono come autovalori 0 e la radice di un -k^3+k^2+k
Il problema è che nel calcolare gli autovettori, vengono entrambi nulli e penso sia facilmente verificabile visto che dall ultima riga che si semplifica con la seconda per k diverso da zero,
$ x=-z $
Può questo essere un risultato corretto? mi confermate?
Risposte
Ciao io ho calcolato il det. della matrice e mi esce -$K^3$ + $K^2$ +$K^3$ - $K^2$ =0 ,quindi suppongo un autovalore =0 (non sono sicuro che 0=0 si possa considerare autovalore).Poi ho calcolato il relativo autospazio ($V_0$) e ottengo $((0,0,0),(1,0,-1),(1,0,-1))$
di cui 2 righe uguali,quindi la dim$V_0$=1 e l'autospazio è (1,0-1).
Infine molteplicità geometrica = molteplicità algebrica ,quindi la matrice risulta diagonalizzabile.
Qualcuno può controllare?Non vorrei aver confermato sciocchezze.
di cui 2 righe uguali,quindi la dim$V_0$=1 e l'autospazio è (1,0-1).
Infine molteplicità geometrica = molteplicità algebrica ,quindi la matrice risulta diagonalizzabile.
Qualcuno può controllare?Non vorrei aver confermato sciocchezze.
Per determinare gli autovalori, si dovrebbe risolvere la seguente equazione:
$(k-lambda)(k^2-k-lambda)(-1-lambda)+k(k^2-k-lambda)=0 rarr$
$rarr (k^2-k-lambda)[(k-lambda)(-1-lambda)+k]=0 rarr$
$rarr (k^2-k-lambda)[lambda^2-lambda(k-1)]=0 rarr$
$rarr [lambda=k(k-1)] vv [lambda=k-1] vv [lambda=0]$
Quindi, svolgere la seguente discussione:
$[k!=0] ^^ [k!=1]$: $[3]$ autovalori distinti.
$[k=0]$: $[lambda=-1]$ con molteplicità algebrica $[1]$, $[lambda=0]$ con molteplicità algebrica $[2]$.
$[k=1]$: $[lambda=0]$ con molteplicità algebrica $[3]$.
Infine, se si vuole discutere la diagonalizzabilità, è sufficiente considerare separatamente i casi $[k=0]$ e $[k=1]$.
$(k-lambda)(k^2-k-lambda)(-1-lambda)+k(k^2-k-lambda)=0 rarr$
$rarr (k^2-k-lambda)[(k-lambda)(-1-lambda)+k]=0 rarr$
$rarr (k^2-k-lambda)[lambda^2-lambda(k-1)]=0 rarr$
$rarr [lambda=k(k-1)] vv [lambda=k-1] vv [lambda=0]$
Quindi, svolgere la seguente discussione:
$[k!=0] ^^ [k!=1]$: $[3]$ autovalori distinti.
$[k=0]$: $[lambda=-1]$ con molteplicità algebrica $[1]$, $[lambda=0]$ con molteplicità algebrica $[2]$.
$[k=1]$: $[lambda=0]$ con molteplicità algebrica $[3]$.
Infine, se si vuole discutere la diagonalizzabilità, è sufficiente considerare separatamente i casi $[k=0]$ e $[k=1]$.
Grazie delle risposte!
"speculor":
Per determinare gli autovalori, si dovrebbe risolvere la seguente equazione:
$(k-lambda)(k^2-k-lambda)(-1-lambda)+k(k^2-k-lambda)=0 rarr$
$rarr (k^2-k-lambda)[(k-lambda)(-1-lambda)+k]=0 rarr$
$rarr (k^2-k-lambda)[lambda^2-lambda(k-1)]=0 rarr$
$rarr [lambda=k(k-1)] vv [lambda=k-1] vv [lambda=0]$
Quindi, svolgere la seguente discussione:
$[k!=0] ^^ [k!=1]$: $[3]$ autovalori distinti.
$[k=0]$: $[lambda=-1]$ con molteplicità algebrica $[1]$, $[lambda=0]$ con molteplicità algebrica $[2]$.
$[k=1]$: $[lambda=0]$ con molteplicità algebrica $[3]$.
Infine, se si vuole discutere la diagonalizzabilità, è sufficiente considerare separatamente i casi $[k=0]$ e $[k=1]$.
Ho commesso un grave errore,grazie per la delucidazione
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