Autovalori, matrici diagonalizzabili...
Gentilmente potreste controllare questo esercizio :
Sia A l'operatore dato dalla matrice
(1 4 1)
(0 5 0)
(2 2 2)
determinare:
-autovalori con molteplicita' algebrica
-autospazi con basi e dimensioni
-eventuale matrice diagonale D
-eventuale matrice diagonalizzante
-se gli autovalori sono mutuamente ortogonali
Sia A l'operatore dato dalla matrice
(1 4 1)
(0 5 0)
(2 2 2)
determinare:
-autovalori con molteplicita' algebrica
-autospazi con basi e dimensioni
-eventuale matrice diagonale D
-eventuale matrice diagonalizzante
-se gli autovalori sono mutuamente ortogonali
Risposte
-gli autovalori sono l1=0 l2=5 l3=3 tutti con m.a.=1
-autospazio di l1=0
y=0
x+z=0
2x+2z=0
dim autospazio=1 (tutti gli autospazi in questo caso hanno dim=1???)
base autospazio (1,0,1) (e' un autovettore??)
autospazio di l2=5
-4x+4y+z=0
y=0
2x+2y-2z=0
base autospazio (7,5,8)
autospazio di l3=3
-2x+4y+z=0
2y=0
2x+2y-1=0
base autospazio (1,0,-2)
la matrice e' diagonalizzabile ed e' della forma
(0 0 0)
(0 3 0)
(0 0 5)
la matrice diagonalizzante N e' della forma
(1 7 1)
(0 5 0)
(1 8 -2)
perche' vale che D=(N^-1)(A)(N) ?????
-gli autovalori sono mutuamente ortogonali???
-autospazio di l1=0
y=0
x+z=0
2x+2z=0
dim autospazio=1 (tutti gli autospazi in questo caso hanno dim=1???)
base autospazio (1,0,1) (e' un autovettore??)
autospazio di l2=5
-4x+4y+z=0
y=0
2x+2y-2z=0
base autospazio (7,5,8)
autospazio di l3=3
-2x+4y+z=0
2y=0
2x+2y-1=0
base autospazio (1,0,-2)
la matrice e' diagonalizzabile ed e' della forma
(0 0 0)
(0 3 0)
(0 0 5)
la matrice diagonalizzante N e' della forma
(1 7 1)
(0 5 0)
(1 8 -2)
perche' vale che D=(N^-1)(A)(N) ?????
-gli autovalori sono mutuamente ortogonali???
ci sono errori?
potreste consigliarmi un eserciziario con quesiti di questo tipo?
Grazie
potreste consigliarmi un eserciziario con quesiti di questo tipo?
Grazie
La base dell'autospazio relativo all'autovalore $0$ vale $((1),(0),(-1))$.
L'equazione cartesiana dell'autospazio è: ${(y=0),(x=-z):}$, quindi, ponendo $x=\alpha$ come parametro libero, si ha che il generico vettore si scrive come: $((\alpha),(0),(-\alpha))$, cioè $\alpha((1),(0),(-1))$
Per quanto riguarda il secondo autospazio la seconda equazione cartesiana non è $y=0$, bensì $0=0$, quindi l'equazione cartesiana di quel sottospazio risulta essere:
${(-4x+4y+z=0),(2x+2x-3z=0):}$ (a meno di errori di calcolo)
L'equazione cartesiana del terzo autospazio è:
${(y=0),(2x=z):}$, quindi, ponendo $x=\alpha$ come parametro libero, si ha che il generico vettore si scrive come: $((\alpha),(0),(2 \alpha))$, cioè $\alpha((1),(0),(2))$, quindi $((1),(0),(2))$ è la base dell'autospazio.
La matrice diagonalizzata è quella che hai scritto, mentre la matrice diagonalizzante è quella che ha per colonne i vettori che compongono la base degli autospazi.
Per quanto riguarda l'ultima domanda, ammetto la mia ignoranza, ma non ne ho la più pallida idea; forse intendevi dire autovettori?
In questo caso calcola il prodotto scalare di tutti gli autovettori, se tutti vengono zero allora sono mutuamente ortogonali.
L'equazione cartesiana dell'autospazio è: ${(y=0),(x=-z):}$, quindi, ponendo $x=\alpha$ come parametro libero, si ha che il generico vettore si scrive come: $((\alpha),(0),(-\alpha))$, cioè $\alpha((1),(0),(-1))$
Per quanto riguarda il secondo autospazio la seconda equazione cartesiana non è $y=0$, bensì $0=0$, quindi l'equazione cartesiana di quel sottospazio risulta essere:
${(-4x+4y+z=0),(2x+2x-3z=0):}$ (a meno di errori di calcolo)
L'equazione cartesiana del terzo autospazio è:
${(y=0),(2x=z):}$, quindi, ponendo $x=\alpha$ come parametro libero, si ha che il generico vettore si scrive come: $((\alpha),(0),(2 \alpha))$, cioè $\alpha((1),(0),(2))$, quindi $((1),(0),(2))$ è la base dell'autospazio.
La matrice diagonalizzata è quella che hai scritto, mentre la matrice diagonalizzante è quella che ha per colonne i vettori che compongono la base degli autospazi.
Per quanto riguarda l'ultima domanda, ammetto la mia ignoranza, ma non ne ho la più pallida idea; forse intendevi dire autovettori?
In questo caso calcola il prodotto scalare di tutti gli autovettori, se tutti vengono zero allora sono mutuamente ortogonali.
ti ringrazio Tipper.
Per quanto riguarda l'ultimo punto hai ragione, si tratta degli autovettori.
Potresti farmi vedere il procedimento, se vuoi.
Ancora Grazie
Per quanto riguarda l'ultimo punto hai ragione, si tratta degli autovettori.
Potresti farmi vedere il procedimento, se vuoi.
Ancora Grazie
È semplice l'ultimo punto: prendi due autovettori, $((1),(0),(-1))$ e $((1),(0),(2))$, il prodotto scalare vale $1*1 + 0*0 + (-1)*2=-1 \ne 0$, quindi non sono mutuamente ortogonali.
Grazie
Ciao
ps:per caso esistono modi diversi per calcolare gli autovettori?
Ciao
ps:per caso esistono modi diversi per calcolare gli autovettori?
Alla fine il metodo è sempre lo stesso per il calcolo degli autovettori: calcoli gli autovalori $\lambda$ e risolvi il sistema $Av=\lambda v$.
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