Autovalori, matrice associata e operatori lineari.

[alfiere15]

Ciao a tutti.
Stavo studiando la proprietà degli autovalori di essere radici del polinomio caratteristico.
Una volta affermato che $kerf != 0$, affermo che $f$ non è un monomorfismo.
Poi, mi si dice di considerare la matrice associata $T_B (f-a*id)$, con $a$ autovalore. Questa matrice non è invertibile.
Poi dice di considerare $T_B (f-a*id)$ applicazione lineare. E scrive: $T_B (f-a*id) = T_B (f) -a*T_B (id)$. PERCHE? Vuol dire che la matrice associata opera come se fosse un operatore lineare?

[redlex91-votailprof]

Se \(f\) è endomorfismo (lineare) su \(V\) spazio vettoriale, e sia \(\mathfrak{B}\) una base fissata in \(V\), supponendo che la scrittura
\[
T_{\mathfrak{B}}(f)
\]
signifchi «la matrice associata all'endormorfismo \(f\) rispetto alla base fissata \(\mathfrak{B}\) in \(V\)», allora come è definita \(T_{\mathfrak{B}}(f)\)?

Se \(\mathfrak{B}=\left\lbrace b_j\right\rbrace_{j=1}^d\) (dove \(d\) è la dimensione di \(V\)) allora
\[
\left[T_{\mathfrak{B}}(f)\right]_{ij}:=\left[f(b_j)\right]_i,\quad1\leq i,j\leq d
\]
dove \(\left[f(b_j)\right]_i\) significa che è la i-esima componente del vettore \(f(b_j)\) rispetto a \(\mathfrak{B}\).

Cosa succede applicando la definizione all'endomorfismo \(f-a\cdot\mathrm{id}_V\), con \(a\) scalare?

\begin{align}
\left[T_{\mathfrak{B}}(f-a\cdot\mathrm{id}_V)\right]_{ij}&=\left[(f-a\cdot\mathrm{id}_V)(b_j)\right]_i\\
&=\left[f(b_j)-a\cdot\mathrm{id}_V(b_j)\right]_i\\
&=\left[f(b_j)\right]_i-a\cdot\left[\mathrm{id}_V(b_j)\right]_i\\
&=\left[T_{\mathfrak{B}}(f)\right]_{ij}-a\cdot\left[T_{\mathfrak{B}}(\mathrm{id}_V)\right]_{ij}
\end{align}