Autovalori in r4

[Maxandri1]

Devo trovare gli autovalori, diagonalizzare e definire il Kel della seguente matrice.
\[\begin{pmatrix} 3 &0 &0 &0 \\ 0 & -1 & -2 & 0\\ 0 & -6 & 0&0 \\ 0& 0 &0&-4 \end{pmatrix}\]
Purtroppo svolgendo l'esercizio e mettendo il parametro Lambda ottengo un'equazione caratteristica che non riesco a risolvere.
\[\left ( \lambda -3 \right )\left (\lambda ^3+5\lambda ^2-8\lambda -48) \right )\]
Sbaglio qualcosa nei passaggi prima? Con Ruffini non ne vengo fuori.
Poi per diagonalizzarla vedo se la molteplicità dell'autospazio è uguale alla molteplicità dell'autovalore, giusto?
Grazie

[Magma1]

$det(A-lambdaI)=$

$=(3-lambda)(-4-lambda)[(-1-lambda)(-lambda)-12]$

$=(3-lambda)(-4-lambda)(lambda^2+lambda-12)$

$=(3-lambda)(-4-lambda) (lambda-3) (lambda+4)$

$=(3-lambda)^2 (4+lambda)^2$

[Maxandri1]

Grazie, errori di calcolo...
come faccio a vedere se Vk=(0;k-5;3;-2) è autovettore?
Poi devo trovare la matrice S della relazione di similitudine.
Procedo con il calcolo degli autospazi e trovo i seguenti vettori relativi ai due autovalori ( 3 e -4)
\[\begin{pmatrix} 0 &1 &-2 &0 \end{pmatrix}\]
e
\[\begin{pmatrix} 0 &2 &3 &0 \end{pmatrix}\]
(giusto?)
come trovo il terzo e quarto vettore che mi servono per formare la base completa?
Posso prendere
\[\begin{pmatrix} 1 &1 &-2 &0 \end{pmatrix}\]
e
\[\begin{pmatrix} 0 &2 &3 &1 \end{pmatrix}\]? Però così \[D=S^{-1}AS\] non torna.
Grazie

[cooper1]

hai sbagliato il calcolo degli autovettori. quando li calcoli trovi già 4 vettori. nota che se i calcoli che hai fatto fossero stati corretti, non avresti ma trovato la matrice di similitudine e questo perchè la matrice non sarebbe stata diagonalizzabile poichè la molteplicità geometrica e algebrica non erano uguali.

[marco.ceccarelli]

[ot]

"Magma":

$det(A-lambdaI)=$

$=(3-lambda)(-4-lambda)[(-1-lambda)(-lambda)-12]$

$=(3-lambda)(-4-lambda)(lambda^2+lambda-12)$

$=(3-lambda)(-4-lambda) (lambda-3) (lambda+4)$

$=(3-lambda)^2 (4+lambda)^2$

Buonasera,

colgo l'occasione per chiedere una cosa. Se dopo aver ottenuto quel polinomio caratteristico volessi determinare gli autovalori, dovrei annullarlo. Quindi gli autovalori sarebbero $4$: $3,-4$, entrambi con molteplicità $2$. Ma come faccio a stabilire quale di questi sia $lambda_1$, quale $lambda_2$, ...? Lo chiedo perché in un esercizio non del tutto analogo a questo ma in cui il problema sono sempre gli autovalori mi si chiede l'equazione canonica di una quadrica nella forma $lambda_1X^2+lambda_2Y^2+...$.

Grazie.[/ot]

[cooper1]

io le forme quadratiche non le ho fatte quindi non so se possa in qualche modo influire l'ordine. ad ogni modo mi verrebbe da dire che è indifferente.

[marco.ceccarelli]

[ot]Grazie per la risposta. In realtà credo qualcosa cambi. Ad esempio in un certo esercizio gli autovalori da cui partire per costruire la forma canonica della quadrica sono $-1,1,3$. Il risultato dev'essere del tipo $lambda_1X^2+lambda_2Y^2+lambda_3Z^2+p=0$, in questo caso $X^2-Y^2+3Z^2+p=0$ ($p$ si determina successivamente). Non capisco in base a cosa il risultato debba essere quello e non ad esempio $X^2+3Y^2-Z^2+p=0$, ottenuto invertendo $lambda_2$ con $lambda_3$. Insomma l'ordine mi sembra importante ai fini della determinazione della forma canonica della quadrica.[/ot]

[cooper1]

allora mi spiace ma non ti posso essere d'aiuto

[Magma1]

"Maxandri":
come faccio a vedere se $V_k=(0;k-5;3;-2)$ è autovettore?

Prova a vederee quando $V_k$ è CL della base di autovettori, viene in tuo soccorso il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli!

"Maxandri":
Procedo con il calcolo degli autospazi e trovo i seguenti vettori relativi ai due autovalori ( 3 e -4)

Per $lambda=3$

$( ( 0 ,0 , 0 , 0 ),( 0 , -4 , -2 , 0 ),( 0 ,-6 ,-3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -7 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0),(0),(0))$

$( ( 0 ,0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 1 , 0 ),( 0 ,0 ,0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -7 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0),(0),(0))$

$(( 0 , 2 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -7 ),( 0 ,0 , 0 , 0 ), ( 0 ,0 , 0 , 0 ) ) ((x),(y),(z),(t))=((0),(0),(0),(0))$

Il sistema ha $oo^2$ soluzioni.

$hArr ((x),(y),(z),(t))=((x),(y),(-2y),(0))=x((1),(0),(0),(0))+y((0),(1),(-2),(0))$

[ot]

"Bubbino1993":Buonasera,
[...] come faccio a stabilire quale di questi sia $lambda_1$, quale $lambda_2$, ...? Lo chiedo perché in un esercizio non del tutto analogo a questo ma in cui il problema sono sempre gli autovalori mi si chiede l'equazione canonica di una quadrica nella forma $lambda_1X^2+lambda_2Y^2+...$.

Buonasera

La base (di autovettori) è un insieme ordinato, per cui gli autovalori vanno disposti nell'ordine in cui sono stati disposti gli autovettori nella base. Per convenienza si dispongono gli autovettori in modo tale da avere gli autovalori nel seguente ordine: positivi, negativi, nulli.[/ot]

[marco.ceccarelli]

[ot]Grazie per la risposta. Mi accingo a concludere perché non voglio creare confusione all'interno del thread, anche se magari l'informazione è/sarà utile anche all'autore. Premessa: la mission potrebbe essere determinare la forma canonica della quadrica $x^2+y^2+z^2+4xz+2kx+2k=0,k in RR$, generale se $k notin {-6,0}$.

$A=((1,0,2,k),(0,1,0,0),(2,0,1,0),(k,0,0,2k)), Q=((1,0,2),(0,1,0),(2,0,1))$

$det(Q-lambdaI)=0 harr lambda=?$

Nella bozza di soluzione il prof. scrive: "Gli autovalori di $Q$ sono $1,-1,3$.". Mi viene da pensare che li abbia messi in quest'ordine perché $lambda_1=1,lambda_2=-1,lambda_3=3$. Ancora non capisco perché, però. Da lì la determinazione della forma canonica è immediata. Grazie.[/ot]

[Magma1]

"Bubbino1993": Premessa: la mission potrebbe essere determinare la forma canonica della quadrica

$x^2+y^2+z^2+4xz+2kx+2k=0,k in RR$, generale se $k notin {-6,0}$.

$A=((1,0,2,k),(0,1,0,0),(2,0,1,0),(k,0,0,2k)), Q=((1,0,2),(0,1,0),(2,0,1))$

$det(Q-lambdaI)=0 harr lambda=?$

Nella bozza di soluzione il prof. scrive: "Gli autovalori di $Q$ sono $1,-1,3$.". Mi viene da pensare che li abbia messi in quest'ordine perché $lambda_1=1,lambda_2=-1,lambda_3=3$. Ancora non capisco perché, però. Da lì la determinazione della forma canonica è immediata. Grazie.

L'ordine degli autovalori non ha importanza, l'importante è che la base di autovalori sia ordinata in modo opportuno!

Certo; conoscendo gli autovalori, la forma canonica è immediata (perché? ), sarà[nota]Considerando una base di autovalori ortonormale[/nota]: $x^2+3y^2-z^2$,
stessa cosa per l'equazione canonica di Sylvester [nota]considerando una base di autovalori secondo Sylvester[/nota]: $x^2+y^2-z^2$ (si preserva solo il segno dell'autovalore)

P.S. Conviene che usi lo spoiler se vuoi inserire le formule, altrimenti vengono sfasate

[marco.ceccarelli]

Ah, ho capito. Insomma la soluzione è corretta qualunque sia l'ordine degli autovalori, basta che il nuovo riferimento cartesiano sia coerentemente orientato. In questo caso, essendo $rkA=4$ e gli autovalori tutti non nulli, la forma canonica è del tipo $lambda_1X^2+lambda_2Y^2+lambda_3Z^2+p=0$. Fonte (dispense):



Tu hai scelto $lambda_1=1, lambda_2=3, lambda_3=-1$, ma ora ho capito che si potrebbe anche scegliere ad esempio $lambda_1=1,lambda_2=-1,lambda_3=3$. Comunque, seguendo la tua scelta:

$X^2+3Y^2-Z^2+p=0$

$A'=((1,0,0,0),(0,3,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,p)) rarr detA'=-3p$

Poiché $detA=-k(k+6)$, per l'invarianza del determinante si ottiene $p=(k(k+6))/3$.

$X^2+3Y^2-Z^2+(k(k+6))/3=0$

Giusto? Grazie.

[Magma1]

"Bubbino1993":Ah, ho capito. Insomma la soluzione è corretta qualunque sia l'ordine degli autovalori, basta che il nuovo riferimento cartesiano sia coerentemente orientato. In questo caso, essendo $rkA=4$ e gli autovalori tutti non nulli, la forma canonica è del tipo $lambda_1X^2+lambda_2Y^2+lambda_3Z^2+p=0$. Fonte (dispense):

Tu hai scelto $lambda_1=1, lambda_2=3, lambda_3=-1$, ma ora ho capito che si potrebbe anche scegliere ad esempio $lambda_1=1,lambda_2=-1,lambda_3=3$. Comunque, seguendo la tua scelta:

$X^2+3Y^2-Z^2+p=0$

$A'=((1,0,0,0),(0,3,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,p)) rarr detA'=-3p$

Poiché $detA=-k(k+6)$, per l'invarianza del determinante si ottiene $p=(k(k+6))/3$.

$X^2+3Y^2-Z^2+(k(k+6))/3=0$

Giusto? Grazie.

Esattamente
Non ti rimane che calcolare il cambiamento di coordinate necessario per ottenere tale equazione.

[marco.ceccarelli]

[ot]Grazie.[/ot]

[Maxandri1]

mi dispiace, ma credo di non aver capito.
Mi trovo due autovalori con molteplicità 2. Prendo il primo, 3. Per vedere se il vettore assegnato è autovettore uguaglio a zero
\[\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &-4 &-2 &0 \\ 0 &-6 &-3 &0 \\ 0 &0 &0 &-7 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\ k-5\\ 3\\ -2 \end{pmatrix}\]? Ma così ottengo un risultato impossibile, 4k=14 e 6k=21
Gli autovettori risultano quindi\[v1=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \end{pmatrix} v2=\begin{pmatrix} 0 &1 &-2 &0 \end{pmatrix} v3=\begin{pmatrix} 0 &2 &3 &0 \end{pmatrix} v4=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\]
Però non ottengo la matrice diagonale alla fine.

[Magma1]

"Maxandri":mi dispiace, ma credo di non aver capito.
Mi trovo due autovalori con molteplicità 2. Prendo il primo, 3. Per vedere se il vettore assegnato è autovettore uguaglio a zero
\[\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &-4 &-2 &0 \\ 0 &-6 &-3 &0 \\ 0 &0 &0 &-7 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\ k-5\\ 3\\ -2 \end{pmatrix}\]? Ma così ottengo un risultato impossibile, 4k=14 e 6k=21
Gli autovettori risultano quindi\[v1=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \end{pmatrix} v2=\begin{pmatrix} 0 &1 &-2 &0 \end{pmatrix} v3=\begin{pmatrix} 0 &2 &3 &0 \end{pmatrix} v4=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\]
Però non ottengo la matrice diagonale alla fine.

Allora, abbiamo detto che la base di autovettori è: ${((1),(0),(0),(0)),((0),(1),(-2),(0)),((0),(2),(3),(0)), ((0),(0),(0),(1))}$

Quindi, $ V_k=((0),(k-5),(3),(-2)) $ è autovettore se, e solo se, è C.L. della precedente base, cioè:

$alpha((1),(0),(0),(0))+beta((0),(1),(-2),(0))+gamma((0),(2),(3),(0)) +delta((0),(0),(0),(1))=((0),(k-5),(3),(-2),(0))$

$hArr ( ( 1 , 0 , 0 , 0 , |0 ),( 0 ,1 , 2 ,0 , |k-5 ),( 0 , -2 , 3 , 0 , |3 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , |-2 ) ) $

Pertanto se $V_k$ è un autovettore si deve avere, per il Teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, che

$r(A)=r(A|V_k)$, dove $A$ è la matrice dei coefficienti!