Autovalori ed autovettori di un'applicazione lineare

[zipangulu]

Ho il seguente esercizio:
Determinare gli autovalori e gli autovettori della seguente applicazione lineare
$L:R^2->R^2$
$L(x,y)=(2x+4y,5x+3y)$

Io ho ragionato così:
Considerata la base canonica di $R^2$ $C={(1,0),(0,1)}$
trovo la matrice $A$ associata alla applicazione L
$A=M_C^C(L)$
$L(1,0)=a(1,0)+b(0,1)=(2,5)=(a,b)$
$L(0,1)=a'(1,0)+b'(0,1)=(4,3)=(a',b')$
dunque
$A=M_C^C(L)=((2,4),(5,3))$
il polinomio caratteristico della matrice A lo trovo come
$P_A(t)=det(A-tI)=det((2-t,4),(5,3-t))=(2-t)(3-t)-20$
imponendo il polinomio $P_A(t)=0$ trovo gli autovalori dell'applicazione $L$ rappresentata da $A$
$t^2-5t-14=0$
che posso riscrivere come:
$(t-7)(t+2)=0$
da cui:
$t-7=0 -> t=7$
$t+2=0 -> t=-2$
che sono i due autovalori,ora vado a studiare gli autospazi degli autovettori
dovendo essere $AX=lambdaX$
-con $lambda_1=7$
${(2x+4y=7x),(5x+3y=7y):}$
${(-5x+4y=0),(5x-4y=0):}$ da cui trovo $x=4/5y$
$S=V_(lambda_1)={(4/5y,y):y in R}={y(4,5):y in R}=<(4,5)>$

-con $lambda_2=-2$
${(2x+4y=-2x),(5x+3y=-2y):}$
${(4x+4y=0),(5x+5y=0):}$ da cui trovo $x=-y$
$S=V_(lambda_2)={(-y,y):y in R}={y(-1,1):y in R}=<(-1,1)>$

è tutto corretto?lo chiedo perchè il mio libro porta risultati diversi,ma penso che abbia sbagliato lui,infatti esso ha considerato:
$L(1,0)=a(1,0)+b(0,1)=(2,0)=(a,b)$
$L(0,1)=a'(1,0)+b'(0,1)=(0,3)=(a',b')$
da cui derivano tutti gli altri risultati sbagliati.
Quindi il mio ragionamento è tutto giusto,compresi i calcoli?

[orazioster]

Certo! $((2,4),(5,3))((x),(y))=((2x+4y),(5x+3y))$