Autovalori ed autovettori
Ciao a tutti...non riuscivo a svolgere questo esercizio avendo letto solo la teoria su autovali ed autovettori:
A) Sia data la matrice:
.........7_____0_____0
A=.....0_____7_____-1
..........0_____14____-2
si calcolino autovalori ed autovettori.A è diagonalizzabile? In caso affermativo si determini una matrice diagonale A' simile ad A.
B) è possibile trovare una matrice B tale che AB = I (matrice identità)? Si motivi accuratamente la risposta.
Questo è l esercizio , ho letto u po la teoria su autovali e autovettori ma sul libro non fa meanche un esempio :/ non so neppure come trovare autovettori e autovalori....
A) Sia data la matrice:
.........7_____0_____0
A=.....0_____7_____-1
..........0_____14____-2
si calcolino autovalori ed autovettori.A è diagonalizzabile? In caso affermativo si determini una matrice diagonale A' simile ad A.
B) è possibile trovare una matrice B tale che AB = I (matrice identità)? Si motivi accuratamente la risposta.
Questo è l esercizio , ho letto u po la teoria su autovali e autovettori ma sul libro non fa meanche un esempio :/ non so neppure come trovare autovettori e autovalori....
Risposte
Ti rispondo con due hint per ora:
A) Se non disponi della teoria, comunque per niente pesante, su polinomio caratteristico e cose simili, puoi comunque cercare a mano i vettori i k per cui esistano v=(v1,v2,v3) tali che Av=kv (provi a risolvere un sistema lineare cercando v diverso dal vettore nullo)
B) Le matrici invertibili sono tutte e sole quelle di rango 3 o determinante non nullo... (potresti anche notare che il rango di una matrice è invariante per similitudine se avessi risolto prima il punto A)
A) Se non disponi della teoria, comunque per niente pesante, su polinomio caratteristico e cose simili, puoi comunque cercare a mano i vettori i k per cui esistano v=(v1,v2,v3) tali che Av=kv (provi a risolvere un sistema lineare cercando v diverso dal vettore nullo)
B) Le matrici invertibili sono tutte e sole quelle di rango 3 o determinante non nullo... (potresti anche notare che il rango di una matrice è invariante per similitudine se avessi risolto prima il punto A)
Cercando un po su internet ho trovato un po di roba ma nn so se va bene
ho provato a svolgere cosi:
7v1=λv1
7v2-v3=λv2
14v2+2v3=λv3
Matrice associata:
...... (7-λ)_____0______0
.......0______(7-λ)____-1
.......0_______14_____(2-λ)
Esso ha soluzione non nulla solo se il det=0
DET: (7-λ)^2 * (2-λ) - (-14)(7-λ) = 0
facendo cosi mi vengono dei risultati troppo sballati λ^3+16λ^2-91λ+196=0
ho provato a svolgere cosi:
7v1=λv1
7v2-v3=λv2
14v2+2v3=λv3
Matrice associata:
...... (7-λ)_____0______0
.......0______(7-λ)____-1
.......0_______14_____(2-λ)
Esso ha soluzione non nulla solo se il det=0
DET: (7-λ)^2 * (2-λ) - (-14)(7-λ) = 0
facendo cosi mi vengono dei risultati troppo sballati λ^3+16λ^2-91λ+196=0
Ciao, io consiglierei di utilizzare i metodi classici, che derivano dalla teoria.
Si definisce polinomio caratteristico della matrice $A$ il polinomio
\[
P\left(s\right) = \det\left[sI-A\right]
\] Gli autovalori della matrice $A$ sono tutte le radici del polinomio caratteristico, ovvero tutte le soluzioni dell'equazione
\[
\det\left[sI-A\right] = 0
\] Nel tuo caso
\[
\det\begin{bmatrix}
s-7&0&0\\0&s-7&1\\0&-14&s+2
\end{bmatrix} = 0
\] \[
\left(s-7\right)\left(s^2-5s\right)=0 \quad\Rightarrow\quad s=0 \vee s=5 \vee s=7
\] E questi sono gli autovalori. Ora sai che una matrice è diagonalizzabile se e solo se tutti i suoi autovalori sono regolari, cioè tali che la loro molteplicità algebrica corrisponde alla molteplicità geometrica. Per questi argomenti ti rimando ovviamente al tuo libro. In questo caso gli autovalori sono tutti semplici (molteplicità algebrica unitaria): in base a un semplice risultato possiamo concludere che sono anche regolari. Di conseguenza la matrice è sicuramente diagonalizzabile. Questo significa che esiste $P$ tale che
\[
D=P^{-1}AP
\] è una matrice diagonale.
Troviamo quindi gli autovettori relativi a ciascun autovalore. In particolare dovrà valere
\[
Av = \lambda v \quad\Rightarrow\quad \left[A-\lambda I\right]v = 0
\] Quindi dovremo cercare il nucleo (o kernel) di \(\left[A-\lambda I\right]\).
\(\lambda = 0\). Dobbiamo trovare il nucleo di $A$. Dato che il rango di $A$ è $2$ il nucleo avrà dimensione $1$. Si nota subito che la seconda colonna di $A$ è pari alla terza moltiplicata per $-7$, quindi il primo vettore può essere
\[
v_1 = \begin{bmatrix}
0\\1\\7
\end{bmatrix}
\] Analogamente si procede per gli altri autovalori e si trova che una matrice $P$ è
\[
P=\begin{bmatrix}
0&0&1\\1&1&0\\7&2&0
\end{bmatrix}
\] Si calcola quindi la sua inversa
\[
P^{-1} = \begin{bmatrix}
0&-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\0&\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\\1&0&0
\end{bmatrix}
\] e si calcola
\[
D = P^{-1}AP = \begin{bmatrix}
0&0&0\\0&5&0\\0&0&7
\end{bmatrix}
\] che è diagonale, come ci aspettavamo.
Si definisce polinomio caratteristico della matrice $A$ il polinomio
\[
P\left(s\right) = \det\left[sI-A\right]
\] Gli autovalori della matrice $A$ sono tutte le radici del polinomio caratteristico, ovvero tutte le soluzioni dell'equazione
\[
\det\left[sI-A\right] = 0
\] Nel tuo caso
\[
\det\begin{bmatrix}
s-7&0&0\\0&s-7&1\\0&-14&s+2
\end{bmatrix} = 0
\] \[
\left(s-7\right)\left(s^2-5s\right)=0 \quad\Rightarrow\quad s=0 \vee s=5 \vee s=7
\] E questi sono gli autovalori. Ora sai che una matrice è diagonalizzabile se e solo se tutti i suoi autovalori sono regolari, cioè tali che la loro molteplicità algebrica corrisponde alla molteplicità geometrica. Per questi argomenti ti rimando ovviamente al tuo libro. In questo caso gli autovalori sono tutti semplici (molteplicità algebrica unitaria): in base a un semplice risultato possiamo concludere che sono anche regolari. Di conseguenza la matrice è sicuramente diagonalizzabile. Questo significa che esiste $P$ tale che
\[
D=P^{-1}AP
\] è una matrice diagonale.
Troviamo quindi gli autovettori relativi a ciascun autovalore. In particolare dovrà valere
\[
Av = \lambda v \quad\Rightarrow\quad \left[A-\lambda I\right]v = 0
\] Quindi dovremo cercare il nucleo (o kernel) di \(\left[A-\lambda I\right]\).
\(\lambda = 0\). Dobbiamo trovare il nucleo di $A$. Dato che il rango di $A$ è $2$ il nucleo avrà dimensione $1$. Si nota subito che la seconda colonna di $A$ è pari alla terza moltiplicata per $-7$, quindi il primo vettore può essere
\[
v_1 = \begin{bmatrix}
0\\1\\7
\end{bmatrix}
\] Analogamente si procede per gli altri autovalori e si trova che una matrice $P$ è
\[
P=\begin{bmatrix}
0&0&1\\1&1&0\\7&2&0
\end{bmatrix}
\] Si calcola quindi la sua inversa
\[
P^{-1} = \begin{bmatrix}
0&-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\0&\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\\1&0&0
\end{bmatrix}
\] e si calcola
\[
D = P^{-1}AP = \begin{bmatrix}
0&0&0\\0&5&0\\0&0&7
\end{bmatrix}
\] che è diagonale, come ci aspettavamo.
Innanzitutto grazie per la risposta minomic!!!
Mi son rimasti alcuni dubbi:
-quando io calcolo il DET per gli autovalori trovo:
(s-7)(s-7)(s+2)-(-14)(s-7)=0....ma in nessun modo riesco a farlo venire (s-7) (s^2-5s)=0
poi sul libro non riuscivo a trovare la molteplicita algebrica o geometrica...Sai di quale argomento si tratta???
Sto studiando sul lang e ha questi argomenti ma quello non lo trovo
-vettori
-spazi vettoriali
-applicazioni lineari
-applicazioni lineari e matrici
-determinanti
-prodotti scalari e ortogonalita
-matrici e applicazioni bilineari
-polinomi e matrici
-teorema spettrale
poi le altre cose non le abbiamo fatte
Mi son rimasti alcuni dubbi:
-quando io calcolo il DET per gli autovalori trovo:
(s-7)(s-7)(s+2)-(-14)(s-7)=0....ma in nessun modo riesco a farlo venire (s-7) (s^2-5s)=0
poi sul libro non riuscivo a trovare la molteplicita algebrica o geometrica...Sai di quale argomento si tratta???
Sto studiando sul lang e ha questi argomenti ma quello non lo trovo
-vettori
-spazi vettoriali
-applicazioni lineari
-applicazioni lineari e matrici
-determinanti
-prodotti scalari e ortogonalita
-matrici e applicazioni bilineari
-polinomi e matrici
-teorema spettrale
poi le altre cose non le abbiamo fatte
"6x6Casadei":
-quando io calcolo il DET per gli autovalori trovo:
(s-7)(s-7)(s+2)-(-14)(s-7)=0....ma in nessun modo riesco a farlo venire (s-7) (s^2-5s)=0
Tu hai calcolato il determinante con la regola di Sarrus, mentre io con un semplice sviluppo di Lagrange (sfruttando il fatto che la matrice contiene parecchi zeri). Comunque è la stessa cosa: puoi sviluppare i calcoli e trovi il polinomio $s^3-12s^2+35s$ che si fattorizza esattamente come dicevamo. Oppure puoi subito raccogliere un $s-7$ e scrivere
\[
\left(s-7\right)\left(s^2-5s-14+14\right) = \left(s-7\right)\left(s^2-5s\right) = s\left(s-5\right)\left(s-7\right)
\]
"6x6Casadei":
poi sul libro non riuscivo a trovare la molteplicita algebrica o geometrica...Sai di quale argomento si tratta???
Prova a leggere qui.
Grazie mille ora ho capito come fare!!! 
Benissimo. Per quanto riguarda il calcolo degli autovettori, prima lo avevo fatto a mente perché si riusciva piuttosto bene. Altrimenti c'è da risolvere un sistema lineare con uno dei soliti metodi, ad esempio riduzione in forma triangolare.
Si, io con gli autovettori ho fatto il sistema, anche se 0 non capisco come sia un autovalore, dato che non annulla nessuno dei 2 prodotti...anche guardando con la molteplicita algebrica si vede...la molteplicita algebrica é 0, ma ho letto che va da 1 ad n.
Beh... $0$ annulla il fattore $s$!
Ahahah non avevo fatto caso alla seconda equazione (s^2-5s)
Ok, l'importante è che sia tutto chiaro. Per altri dubbi siamo qui.
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