Autovalori ed autospazi

[Gundalf]

Ciao a tutti, oggi stavo svolgendo questo esercizio:

Calcolare autovalori ed autospazi di questa matrice A= $((3,2),(2,3))$

Io comincio facendo detA-$\lambda$I= $((3- \lambda ,2),(2,3- \lambda))$= $lambda^2$-6$\lambda$+5
Le cui soluzioni sono -$\lambda$= 5 con m1=1
-$\lambda$=1 con m2=1

Adesso per calcolare gli autospazi imposto un sistema
$\{(3x+2y=5x),(2x+3y=5y):}$

Ed è a questo punto che non so più andare avanti, potreste darmi una mano?
Inoltre la matrice è diagonalizzabile?

[apatriarca]

Che difficoltà incontri con quel sistema? Mi sembra abbastanza immediato da risolvere (riscrivi le equazioni mettendo insieme i coefficienti di x e y che stanno dalle due parti dell'uguale). Che cosa ti dice la teoria sulla diagonalizzabilità di quella matrice? Hai due autovalori e una volta risolti i sistemi anche due autovettori..

[garnak.olegovitc1]

"Gundalf":Ciao a tutti, oggi stavo svolgendo questo esercizio:

Calcolare autovalori ed autospazi di questa matrice A= $((3,2),(2,3))$

Io comincio facendo detA-$\lambda$I= $((3- \lambda ,2),(2,3- \lambda))$= $lambda^2$-6$\lambda$+5
Le cui soluzioni sono -$\lambda$= 5 con m1=1
-$\lambda$=1 con m2=1

Adesso per calcolare gli autospazi imposto un sistema
$\{(3x+2y=5x),(2x+3y=5y):}$

Ed è a questo punto che non so più andare avanti, potreste darmi una mano?
Inoltre la matrice è diagonalizzabile?

supponendo che la matrice associata ad \(f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^2)\) rispetto, spero, alla base canonica sia \( A:=\begin{Vmatrix}
3 &2 \\
2& 3
\end{Vmatrix}\), gli autovalori sono gli elementi dello spettro di \( f\), ove \( \operatorname{sp}(f)=\{x \in \Bbb{R}|p_c=0\}\) con $$p_c=\det(A-\lambda I_2)=\det\left( \begin{Vmatrix}
3 &2 \\
2& 3
\end{Vmatrix} - \lambda \begin{Vmatrix}
1 &0 \\
0& 1
\end{Vmatrix}\right)=\det\left( \begin{Vmatrix}
3-\lambda &2 \\
2& 3-\lambda
\end{Vmatrix}\right)=$$$$=(3-\lambda)^2-2^2=(3-\lambda-2)(3-\lambda+2)=(1-\lambda)(5-\lambda)$$ gli zeri di \( p_c \) sono $$\operatorname{sp}(f)=\{1,5\}$$ e non \(-\lambda=5\) e \( -\lambda=1 \) .. gli autospazi sono rispetto ad un autovalore \( a \in \operatorname{sp}(f)\), e preferisco indicarlo con la scrittura \( E_a^f \).. in particolare, avremo $$E_{1}^f=\{(x,y) \in \Bbb{R}^2|(A-(1) I_2)\begin{Vmatrix}
x\\
y
\end{Vmatrix}=0_{\mathfrak{M}_{2,2}}(\Bbb{R})\} \quad \text{e} \quad E_{5}^f=\{(x',y') \in \Bbb{R}^2|(A-(5) I_2)\begin{Vmatrix}
x'\\
y'
\end{Vmatrix}=0_{\mathfrak{M}_{2,2}}(\Bbb{R})\} $$ facendo un pò di calcoli ottieni, rispettivamente per \( E_1^f \) e \( E_5^f\) i seguenti sistemi lineare $$\left\{\begin{matrix}
2x+2y=0\\
2x+2y=0
\end{matrix}\right. \quad\text{e} \quad \left\{\begin{matrix}
-2x'+2y'=0\\
2x'-2y'=0
\end{matrix}\right. $$ che vanno risolti applicando la teoria, in questo link trovi moolti esempi di metodi di (ri)soluzione di sistemi lineari .. prova a partire applicando il Teorema di Rouchè-Capelli..!! Per sapere se \(f \) è diagonalizzabile puoi applicare il "\(1^\circ\) Criterio di Diagonalizzazione" (Teorema 2.8 e Teorema 2.11), ovvero vedere se \( f \) è semplice (qui trovi un caso di studio).. ma devi comunque trovare gli autospazi!

edit: parti dal sistema \(\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
2x+2y=0\\
2x+2y=0
\end{matrix}\right.\), denotando la matrice completa \(\Sigma|\text{b}:=\begin{Vmatrix}
2 &2 &0 \\
2& 2 &0
\end{Vmatrix}\) noterai che \( \mathbf{rnk}(\Sigma|\text{b})=\mathbf{rnk}(\Sigma)<2=\text{numero di incognite}\) ergo \(\Sigma\) è compatibile ma indeterminato (a te le soluzioni.. )

Il sistema invece \(\Sigma':=\left\{\begin{matrix}
-2x'+2y'=0\\
2x'-2y'=0
\end{matrix}\right. \), denotando la matrice completa \(\Sigma'|\text{b}:=\begin{Vmatrix}
-2 &2 &0 \\
2& -2 &0
\end{Vmatrix}\) noterai anche qui che \( \mathbf{rnk}(\Sigma'|\text{b})=\mathbf{rnk}(\Sigma')<2=\text{numero di incognite}\) ergo \(\Sigma'\) è compatibile ma indeterminato (a te le soluzioni.. )


Saluti

[Gundalf]

Grazie mille per l'aiuto mi hai chiarito tutti i dubbi

[garnak.olegovitc1]

@Gundalf,

"Gundalf":Grazie mille per l'aiuto mi hai chiarito tutti i dubbi

di nulla!

Saluti

P.S. = Alla prossima, e spero di vederti usare meglio l'apposita codifica in \( \LaTeX \)..

[21zuclo]

in sostanza ricorda.. ti faccio una sintesi molto ristretta..ti ha già detto tutto l'utente garnak.olegovitc

che se di una matrice $ A\in \mathbb{M}_(n xx n) (\mathbb{R}, \mathbb{C}) $

e $ \lambda_0 $ è il suo autovalore contato con la sua molteplicità..ecc....

il suo autospazio..si calcola $ V_(\lambda_0)=Ker(A-\lambda_0 I_n) $

nota.. la notazione dell'autospazio..può variare..c'è chi come me mette $V_(\lambda_0)$ degli altri che usano la notazione dell'utente sopra..