Autovalori ed applicazioni lineari iniettive
La domanda è questa.
Sia $T:RR^2 -> RR^2$ un'applicazione lineare iniettiva. È vero che $T$ ha almeno un autovalore???
Grazie mille a chi risponderà
Sia $T:RR^2 -> RR^2$ un'applicazione lineare iniettiva. È vero che $T$ ha almeno un autovalore???
Grazie mille a chi risponderà
Risposte
Tu che idea ti sei fatto?
Geometricamente, cosa è $T$?
E cosa rappresentano gli autovalori e gli autospazi?
Geometricamente, cosa è $T$?
E cosa rappresentano gli autovalori e gli autospazi?
Non so proprio perché a pensarci mi sto solo confondendo le idee
Io pensavo questo ma credo che sia una grande ca....
Pensavo essendo iniettiva ed essendo endomorfismo fosse anche suriettiva e quindi diagonalizzabile(?)
Pensavo essendo iniettiva ed essendo endomorfismo fosse anche suriettiva e quindi diagonalizzabile(?)
"freccianelcool":
Non so proprio perché a pensarci mi sto solo confondendo le idee
Peccato che “pensarci” sia una componente fondamentale dello studio… Senza sarebbe molto più facile!
"freccianelcool":
Io pensavo questo ma credo che sia una grande ca....
Pensavo essendo iniettiva ed essendo endomorfismo fosse anche suriettiva e quindi diagonalizzabile(?)
Sì, lo è.
In primis, perché la diagonalizzabilità non è legata alle proprietà algebriche dell’applicazione: se lo fosse, qualsiasi isomorfismo sarebbe diagonalizzabile, contro il fatto che $T(x,y) := (x+y,y) $ non lo è (perché?).
In secundis, perché non hai risposto alla domanda che ti ho fatto sopra: geometricamente, cos’è $T$? Cosa rappresenta? E gli autospazi?
Hai mai disegnato come agisce un’applicazione lineare di $RR^2$?
Geometricamente T è rappresentabile come matrice... È questo che intendi?
Mentre gli autospazi servono per vedere la molteplicità geometrica.
Mentre gli autospazi servono per vedere la molteplicità geometrica.
Non ho mai disegnato come agisce in R^2
"gugo82":
In primis, perché la diagonalizzabilità non è legata alle proprietà algebriche dell’applicazione: se lo fosse, qualsiasi isomorfismo sarebbe diagonalizzabile, contro il fatto che $T(x,y) := (x+y,y) $ non lo è (perché?).
L'applicazione che hai scritto tu non è diagonalizzabile, e questo è vero, infatti possiede solo un autovalore con molteplicità algebrica 1. E quindi non lo è
Però un autovalore lo ha sempre no?
"freccianelcool":
L'applicazione che hai scritto tu non è diagonalizzabile, e questo è vero, infatti possiede solo un autovalore con molteplicità algebrica 1. E quindi non lo è
Però un autovalore lo ha sempre no?
Certo, l'autovalore è 1. E' doppio ma coincidente.
E' una trasformazione iniettiva?
@gugo Comunque la domanda è ambigua. Potrebbe avere solo autovalori complessi, no?
All'università, al contrario che al liceo, ti viene spesso chiesto di tentare di risolvere problemi che non hai mai visto prima ma che si basano sulla teoria che hai studiato. Imparare a ragionare sui problemi e tentare di risolverli anche se a prima vista non sai dove mettere le mani è la competenza numero 1 che ci si aspetta da un laureato in materie scientifiche o ingegneristiche. Non abbiamo scritto il [regolamento]1_2[/regolamento] per puro sadismo.
Detto questo, vediamo se trovi più facile risolvere questo problema del tutto equivalente:
Sia \(T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) una applicazione lineare iniettiva, e supponi che ti venga chiesto di trovare un suo autovalore. Il metodo che useresti può fallire[nota]Intendo ovviamente fallire in modo legittimo, ovvero che effettivamente si arrivi ad un punto in cui non puoi proseguire.[/nota]?
Detto questo, vediamo se trovi più facile risolvere questo problema del tutto equivalente:
Sia \(T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) una applicazione lineare iniettiva, e supponi che ti venga chiesto di trovare un suo autovalore. Il metodo che useresti può fallire[nota]Intendo ovviamente fallire in modo legittimo, ovvero che effettivamente si arrivi ad un punto in cui non puoi proseguire.[/nota]?
"Bokonon":
[quote="freccianelcool"]
L'applicazione che hai scritto tu non è diagonalizzabile, e questo è vero, infatti possiede solo un autovalore con molteplicità algebrica 1. E quindi non lo è
Però un autovalore lo ha sempre no?
Certo, l'autovalore è 1. E' doppio ma coincidente.
E' una trasformazione iniettiva?
@gugo Comunque la domanda è ambigua. Potrebbe avere solo autovalori complessi, no?[/quote]
Non esiste nulla che si chiami autovalore complesso su uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
"vict85":
Non esiste nulla che si chiami autovalore complesso su uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Appunto...
"vict85":
Detto questo, vediamo se trovi più facile risolvere questo problema del tutto equivalente:
Sia \(T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) una applicazione lineare iniettiva, e supponi che ti venga chiesto di trovare un suo autovalore. Il metodo che useresti può fallire[nota]Intendo ovviamente fallire in modo legittimo, ovvero che effettivamente si arrivi ad un punto in cui non puoi proseguire.[/nota]?
beh non saprei dipende dalla matrice associata...
stavo pensando: se sulla diagonale i valori son tutti nulli l'autovalore sarebbe 0 ma non so se considerarlo tale. Come diceva gugo credo che il fatto di essere iniettiva o suriettiva non dà nessuna informazione sulla matrice associata se non il fatto che appunto il ker=0 e per il th della dimensione im=2.
dunque sono punto e accapo perché non riesco comunque a capire come dimostrare che questo metodo che andrò ad usare sia fallimentare
"vict85":
[quote="Bokonon"][quote="freccianelcool"]
L'applicazione che hai scritto tu non è diagonalizzabile, e questo è vero, infatti possiede solo un autovalore con molteplicità algebrica 1. E quindi non lo è
Però un autovalore lo ha sempre no?
Certo, l'autovalore è 1. E' doppio ma coincidente.
E' una trasformazione iniettiva?
@gugo Comunque la domanda è ambigua. Potrebbe avere solo autovalori complessi, no?[/quote]
Non esiste nulla che si chiami autovalore complesso su uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{R} \).[/quote]
Quindi la risposta sarebbe no perché potrei trovare degli autovalori ma nel campo dei complessi e non in quello di R?
Ma in quale caso mi troverei in questa situazione?
Se \(0\) fosse un autovalore, \(T\) sarebbe ancora iniettiva? Dipende dalla matrice associata non è una risposta. Quello che ti ho chiesto è il seguente: il procedimento per trovare gli autovalore è composto da vari step. Ad un certo punto uno di questi step può fallire? Se ti viene più facile considera la matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
"freccianelcool":
Quindi la risposta sarebbe no perché potrei trovare degli autovalori ma nel campo dei complessi e non in quello di R?
Ma in quale caso mi troverei in questa situazione?
Non chiedere, motiva. Comunque sì, un autovalore su uno spazio vettoriale reale è sempre un numero reale.
No ragazzi davvero non capisco...
Prendiamo ad esempio quella matrice che hai scritto tu
Quando vado a fare il calcolo degli autovalori l'unico step è quello di sottrarre a quella matrice la matrice identità moltiplicata per lambda.
Quando vado a fare questo passaggio ho che gli autovettori sono quelli che mi soddisfano l'equazione (a-lambda)(d-lamda)-bc=0
Dunque trovo per forza un autovalore
Prendiamo ad esempio quella matrice che hai scritto tu
Quando vado a fare il calcolo degli autovalori l'unico step è quello di sottrarre a quella matrice la matrice identità moltiplicata per lambda.
Quando vado a fare questo passaggio ho che gli autovettori sono quelli che mi soddisfano l'equazione (a-lambda)(d-lamda)-bc=0
Dunque trovo per forza un autovalore
Come hai scritto (malamente però) l'applicazione è iniettiva quando la dimensione del suo kernel è zero (ovvero contiene solo il vettore nullo). Tradotto significherà che la matrice associata ha rango pieno, oppure determinante diverso da zero, ergo non avrà mai un autovalore pari a zero.
Prendiamo la matrice $ A=( ( 2 , 2 ),( -2 , -1 ) ) $
E' iniettiva?
Ha almeno un autovalore?
Prendiamo la matrice $ A=( ( 2 , 2 ),( -2 , -1 ) ) $
E' iniettiva?
Ha almeno un autovalore?
"Bokonon":
Come hai scritto (malamente però) l'applicazione è iniettiva quando la dimensione del suo kernel è zero (ovvero contiene solo il vettore nullo). Tradotto significherà che la matrice associata ha rango pieno, oppure determinante diverso da zero, ergo non avrà mai un autovalore pari a zero.
Prendiamo la matrice $ A=( ( 2 , 2 ),( -2 , -1 ) ) $
E' iniettiva?
Ha almeno un autovalore?
Allora
La matrice A è innanzitutto iniettiva perchè se provo a mettere a sistema Ax=0 l'unica soluzione è che x e y siano uguali a 0 e quindi ne deduco che è iniettiva
Quando vado a calcolare i valori mi esce $ lambda ^2 - lamda + 2 $ che quindi non ha autovalori (nel campo dei razionali) giusto?????
Ragazzi grazie mille per la pazienza e grazie mille adesso credo di aver compreso tutto grazie <3
"gugo82":
Tu che idea ti sei fatto?
Geometricamente, cosa è $T$?
E cosa rappresentano gli autovalori e gli autospazi?
Posso sapere comunque cosa intendevi con queste domande? Cioè cosa intendevi dicendo cosa è GEOMETRICAMENTE?
e poi cosa voleva dire il resto? dove volevi farmi arrivare??
"freccianelcool":
Ragazzi grazie mille per la pazienza e grazie mille adesso credo di aver compreso tutto grazie <3
Non è finita
Vict85 ti ha proposto di scrivere tutte le matrici che non soddisfano i requisiti.
In generale tutte le matrici antisimmetriche (in spazi $R^n$ con n=2,4,6,...) hanno solo autovalori complessi.
(mentre in spazi dispari hanno tutte autovalori complessi + un autovalore 0)
Quindi qual è la matrice generica iniettiva inb $R^2$ che non avrà mai autovalori reali?
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