Autovalori ed applicazioni lineari iniettive
La domanda è questa.
Sia $T:RR^2 -> RR^2$ un'applicazione lineare iniettiva. È vero che $T$ ha almeno un autovalore???
Grazie mille a chi risponderà
Sia $T:RR^2 -> RR^2$ un'applicazione lineare iniettiva. È vero che $T$ ha almeno un autovalore???
Grazie mille a chi risponderà
Risposte
@freccianelcool: Apprezzo molto il nickname, ma meno il fatto che tu abbia “uppato” il thread fuori dal tempo minimo consentito dal [regolamento]regolamento1[/regolamento] (cfr. 3.4).
Le risposte da parte mia non sono arrivate per il semplice fatto che io ho un lavoro (no, non è quello di fare da tutor online su queste pagine) e che la risposta dovesse essere necessariamente articolata.
Quindi, per le prossime occasioni, impara ad aspettare.
No.
Vedi, se usualmente il corso in cui si insegnano queste cose si chiama "Geometria" o "Geometria ed Algebra (Lineare)" vuol dire che gli oggetti di studio sono correlati in qualche modo alla Geometria che tu conosci da sempre (o, quanto meno, dalle scuole superiori).
Di nuovo non rispondi alla domanda.
Se la domanda fosse stata “A cosa servono gli autospazi?”, la risposta avrebbe anche potuto aver senso. Ma la domanda non era quella.
Il fatto è che per rispondere alle due domande che ti ho fatto devi riflettere molto e cercare di stabilire il nesso tra ciò che già sai dalle scuole (in particolare, quel po’ di Geometria Analitica ed Euclidea che conosci) e ciò che ti stai studiando all’università (cioè, l’Algebra Lineare).
Se non riesci a stabilire questo nesso, difficilmente riuscirai a comprendere la valenza della Matematica che studi: ti sembrerà sempre un bagaglio di tecniche astratte da applicare non si sa bene per fare cosa.
***
Dopo la paternale (fatta perché mi farebbe molto piacere che gli studenti imparassero davvero un po’ di Matematica, invece di memorizzarne le tecniche senza scopi precisi), torniamo a noi.
In spoiler un discorso minimale sull’interpretazione geometrica di quello che stai studiando e che di solito viene perso per strada nei corsi di Algebra Lineare.
***
Torniamo, infine, al quesito che ti hanno posto:
Alla luce di quanto detto sopra, ti basta capire con la tua intuizione geometrica se esistono trasformazioni geometriche del piano che non lasciano fisso nessun vettore (a parte, beninteso, il vettore nullo $mathbf(0)$).
Beh, di trasformazioni geometriche siffatte ne esistono infinite e sono tutte elementari e conosciute dalle scuole... Secondo te, quali sono?
Le risposte da parte mia non sono arrivate per il semplice fatto che io ho un lavoro (no, non è quello di fare da tutor online su queste pagine) e che la risposta dovesse essere necessariamente articolata.
Quindi, per le prossime occasioni, impara ad aspettare.
"freccianelcool":
Geometricamente T è rappresentabile come matrice... È questo che intendi?
No.
Vedi, se usualmente il corso in cui si insegnano queste cose si chiama "Geometria" o "Geometria ed Algebra (Lineare)" vuol dire che gli oggetti di studio sono correlati in qualche modo alla Geometria che tu conosci da sempre (o, quanto meno, dalle scuole superiori).
"freccianelcool":
Mentre gli autospazi servono per vedere la molteplicità geometrica.
Di nuovo non rispondi alla domanda.
Se la domanda fosse stata “A cosa servono gli autospazi?”, la risposta avrebbe anche potuto aver senso. Ma la domanda non era quella.
Il fatto è che per rispondere alle due domande che ti ho fatto devi riflettere molto e cercare di stabilire il nesso tra ciò che già sai dalle scuole (in particolare, quel po’ di Geometria Analitica ed Euclidea che conosci) e ciò che ti stai studiando all’università (cioè, l’Algebra Lineare).
Se non riesci a stabilire questo nesso, difficilmente riuscirai a comprendere la valenza della Matematica che studi: ti sembrerà sempre un bagaglio di tecniche astratte da applicare non si sa bene per fare cosa.
***
Dopo la paternale (fatta perché mi farebbe molto piacere che gli studenti imparassero davvero un po’ di Matematica, invece di memorizzarne le tecniche senza scopi precisi), torniamo a noi.
In spoiler un discorso minimale sull’interpretazione geometrica di quello che stai studiando e che di solito viene perso per strada nei corsi di Algebra Lineare.
***
Torniamo, infine, al quesito che ti hanno posto:
esistono applicazioni lineari iniettive di $RR^2$ in sé che non hanno alcun autovalore?
Alla luce di quanto detto sopra, ti basta capire con la tua intuizione geometrica se esistono trasformazioni geometriche del piano che non lasciano fisso nessun vettore (a parte, beninteso, il vettore nullo $mathbf(0)$).
Beh, di trasformazioni geometriche siffatte ne esistono infinite e sono tutte elementari e conosciute dalle scuole... Secondo te, quali sono?
"gugo82":
@freccianelcool: Apprezzo molto il nickname, ma meno il fatto che tu abbia “uppato” il thread fuori dal tempo minimo consentito dal [regolamento]regolamento1[/regolamento] (cfr. 3.4).
Le risposte da parte mia non sono arrivate per il semplice fatto che io ho un lavoro (no, non è quello di fare da tutor online su queste pagine) e che la risposta dovesse essere necessariamente articolata.
Quindi, per le prossime occasioni, impara ad aspettare.
Allora gugo io mi scuso ma personalmente sono nuovissimo e non sapevo di questa regola quindi chiedo venia..
"gugo82":
Il fatto è che per rispondere alle due domande che ti ho fatto devi riflettere molto e cercare di stabilire il nesso tra ciò che già sai dalle scuole (in particolare, quel po’ di Geometria Analitica ed Euclidea che conosci) e ciò che ti stai studiando all’università (cioè, l’Algebra Lineare).
Se non riesci a stabilire questo nesso, difficilmente riuscirai a comprendere la valenza della Matematica che studi: ti sembrerà sempre un bagaglio di tecniche astratte da applicare non si sa bene per fare cosa.
Concordo pienamente con te. Infatti questo è un bel problema anche perché geometria analitica alle superiori 0... però vabbe diciamo che ho fatto questa domanda senza sapere in generale l'argomento o comunque sapendolo per sommi capi e quindi per me ogni domanda era un qualcosa in piu e mi riempiva solo la testa di nozioni o definizioni o quant'altro senza rifletterci su.
dunque paternale più che giusta
Ti ringrazio molto per questa lezione mi è servita molto. Non so però cosa intendi con trasformazioni che non rimandano ad un vettore fisso. Probabilmente non saprei cosa dirti...
"bokonon":
Quindi qual è la matrice generica iniettiva inb R2 che non avrà mai autovalori reali?
Beh come hai detto tu tutte le matrici antisimmetriche.
Dunque $ ( ( a , b ),( -b , c ) ) $
"freccianelcool":
[quote="gugo82"]@freccianelcool: Apprezzo molto il nickname, ma meno il fatto che tu abbia “uppato” il thread fuori dal tempo minimo consentito dal [regolamento]regolamento1[/regolamento] (cfr. 3.4).
Le risposte da parte mia non sono arrivate per il semplice fatto che io ho un lavoro (no, non è quello di fare da tutor online su queste pagine) e che la risposta dovesse essere necessariamente articolata.
Quindi, per le prossime occasioni, impara ad aspettare.
Allora gugo io mi scuso ma personalmente sono nuovissimo e non sapevo di questa regola quindi chiedo venia..
[/quote]Figurati... Dopotutto, sei qui da poco.
"freccianelcool":
[quote="gugo82"]Il fatto è che per rispondere alle due domande che ti ho fatto devi riflettere molto e cercare di stabilire il nesso tra ciò che già sai dalle scuole (in particolare, quel po’ di Geometria Analitica ed Euclidea che conosci) e ciò che ti stai studiando all’università (cioè, l’Algebra Lineare).
Se non riesci a stabilire questo nesso, difficilmente riuscirai a comprendere la valenza della Matematica che studi: ti sembrerà sempre un bagaglio di tecniche astratte da applicare non si sa bene per fare cosa.
Concordo pienamente con te. Infatti questo è un bel problema anche perché geometria analitica alle superiori 0...[/quote]
No, vabbè, non ci credo.
Rette e coniche si studiano ovunque. Le trasformazioni geometriche in Geometria Analitica non sempre, ma in Geometria Euclidea sì (se hai fatto un liceo).
"freccianelcool":
[...] però vabbe diciamo che ho fatto questa domanda senza sapere in generale l'argomento o comunque sapendolo per sommi capi e quindi per me ogni domanda era un qualcosa in piu e mi riempiva solo la testa di nozioni o definizioni o quant'altro senza rifletterci su.
Qui sbagli ad impostare il lavoro.
Prima di svolgere gli esercizi bisogna leggersi con un po’ di attenzione la teoria. Sempre.
"freccianelcool":
Ti ringrazio molto per questa lezione mi è servita molto. Non so però cosa intendi con trasformazioni che non rimandano ad un vettore fisso. Probabilmente non saprei cosa dirti...
Una rotazione intorno a $O$ ha vettori fissi?
Una simmetria centrale con centro in $O$ ha vettori fissi?
Legandomi al discorso di Gugo82, esistono due approcci per risolvere il problema, uno puramente geometrico e uno puramente algebrico (e suppongo si possa fare qualcosa di mezzo).
La più semplice soluzione puramente geometrica consiste nel presentare una classe di controesempi. Infatti esiste una importantissima classe di trasformazioni del piano che non possiede alcun autovettore. Per prima cosa risulta utile ragionare su cosa sia un autovettore dal punto di vista geometrico (nota che sto restringendo il senso di autovettori e quelli che non hanno autovalore nullo). Il modo più semplice per vederlo è, a mio avviso, quello di identificarlo con una retta passante per \(\mathbb{0}\) che viene mandata in sé stessa dalla trasformazione. Una volta visualizzato in questo modo mi sembra evidente a quali trasformazioni dello spazio io mi stia riferendo.
Volendo essere più completi, è possibile classificare tutte le trasformazioni dello spazio, ma non mi sembra il caso di farlo in questa sede.
La soluzione algebrica è quella che ti abbiamo suggerito io e bokonon. Vediamo di essere un po' più formali però.
Fissato \(T\), consideriamo le trasformazioni del tipo \(\displaystyle T - \lambda I \). Un vettore non nullo \(\mathbf{v}\) è un autovettore di \(T\) con autovalore \(\displaystyle \lambda \) se e solo se \(\mathbf{v}\in \ker(T - \lambda I)\). Pertanto, affinché esista un autovettore è necessario e sufficiente che \(T - \lambda I\) non sia iniettiva. Nel caso di dimensione finita, al fine di trovare queste trasformazioni possiamo calcolare il determinante della matrice associata a \(T-\lambda I\) (è possibile arrivare al polinomio caratteristico senza usare la matrice associata, ma il discorso si complicherebbe non poco).
Il determinante di quella matrice parametrica è un polinomio di grado 2 della forma \((a-\lambda)(d-\lambda)-bc = \lambda^2 -\mathrm{tr}(T)\lambda +\det(T)\). E' abbastanza immediato notare che ogni polinomio di grado 2 è un multiplo di un polinomio in quella forma. A questo punto, per concludere, basta osservare che esistono polinomi irriducibili in \(\mathbb{R}\) e che tutti hanno il termine \(C\) diverso da \(0\).
Se vuoi trovare tutte le trasformazioni con quella caratteristica ti è sufficiente osservare che si deve avere \(\displaystyle \Delta < 0 \) ovvero \(\displaystyle \mathrm{tr}(T)^2 < 4\det(T) \).
La più semplice soluzione puramente geometrica consiste nel presentare una classe di controesempi. Infatti esiste una importantissima classe di trasformazioni del piano che non possiede alcun autovettore. Per prima cosa risulta utile ragionare su cosa sia un autovettore dal punto di vista geometrico (nota che sto restringendo il senso di autovettori e quelli che non hanno autovalore nullo). Il modo più semplice per vederlo è, a mio avviso, quello di identificarlo con una retta passante per \(\mathbb{0}\) che viene mandata in sé stessa dalla trasformazione. Una volta visualizzato in questo modo mi sembra evidente a quali trasformazioni dello spazio io mi stia riferendo.
Volendo essere più completi, è possibile classificare tutte le trasformazioni dello spazio, ma non mi sembra il caso di farlo in questa sede.
La soluzione algebrica è quella che ti abbiamo suggerito io e bokonon. Vediamo di essere un po' più formali però.
Fissato \(T\), consideriamo le trasformazioni del tipo \(\displaystyle T - \lambda I \). Un vettore non nullo \(\mathbf{v}\) è un autovettore di \(T\) con autovalore \(\displaystyle \lambda \) se e solo se \(\mathbf{v}\in \ker(T - \lambda I)\). Pertanto, affinché esista un autovettore è necessario e sufficiente che \(T - \lambda I\) non sia iniettiva. Nel caso di dimensione finita, al fine di trovare queste trasformazioni possiamo calcolare il determinante della matrice associata a \(T-\lambda I\) (è possibile arrivare al polinomio caratteristico senza usare la matrice associata, ma il discorso si complicherebbe non poco).
Il determinante di quella matrice parametrica è un polinomio di grado 2 della forma \((a-\lambda)(d-\lambda)-bc = \lambda^2 -\mathrm{tr}(T)\lambda +\det(T)\). E' abbastanza immediato notare che ogni polinomio di grado 2 è un multiplo di un polinomio in quella forma. A questo punto, per concludere, basta osservare che esistono polinomi irriducibili in \(\mathbb{R}\) e che tutti hanno il termine \(C\) diverso da \(0\).
Se vuoi trovare tutte le trasformazioni con quella caratteristica ti è sufficiente osservare che si deve avere \(\displaystyle \Delta < 0 \) ovvero \(\displaystyle \mathrm{tr}(T)^2 < 4\det(T) \).
@vict85: Certo, i due approcci sono complementari in un certo senso.
Dopotutto, la grande scoperta di Cartesio e Fermat consiste nel fatto che oggetti algebrici possono rappresentare oggetti geometrici e viceversa.
[ot]Questa cosa l'ho detta più o meno allo stesso modo ai miei studenti di seconda ed a quelli di terza in cui mi capita di fare sostituzione... Speriamo serva.[/ot]
Dopotutto, la grande scoperta di Cartesio e Fermat consiste nel fatto che oggetti algebrici possono rappresentare oggetti geometrici e viceversa.
[ot]Questa cosa l'ho detta più o meno allo stesso modo ai miei studenti di seconda ed a quelli di terza in cui mi capita di fare sostituzione... Speriamo serva.[/ot]
@gugo82: certo.
@freccianelcool: Vediamo se hai capito. E se la dimensione fosse stata \(3\)? La soluzione sarebbe stata la stessa? E per \(4\)?
@freccianelcool: Vediamo se hai capito. E se la dimensione fosse stata \(3\)? La soluzione sarebbe stata la stessa? E per \(4\)?
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