Autovalori e matrice diagonalizzabile
Ho un esercizio d'esame che saprei risolvere se non avessi il problema della t.
Data la seguente matrice:
$A=((1,t,1),(t,t,t),(1,t,1))$
a)Determinare al variare del parametro t appartiene a R gli autovalori della matrice
a questo proposito ho calcolato il determinante ed è =0.A tal proposito deduco cosa deduco?è questo il mio quesito perchè viceversa se ottenessi dei valori di t andrei a sostituirli e a trovare gli autovalori.....
spero qualcuno possa aiutarmi!!!
Data la seguente matrice:
$A=((1,t,1),(t,t,t),(1,t,1))$
a)Determinare al variare del parametro t appartiene a R gli autovalori della matrice
a questo proposito ho calcolato il determinante ed è =0.A tal proposito deduco cosa deduco?è questo il mio quesito perchè viceversa se ottenessi dei valori di t andrei a sostituirli e a trovare gli autovalori.....
spero qualcuno possa aiutarmi!!!
Risposte
[mod="Martino"]Questo è un argomento di algebra lineare, non di algebra. Attenzione in futuro, grazie. Sposto.[/mod]
Ciao,
determinare il determinante di una matrice non serve per il calcolo dei suoi autovalori (o meglio, serve a volte, ma in ogni caso non completa il lavoro).
Dovresti calcolare le radici del polinomio caratteristico.
Hai trovato il polinomio caratteristico della matrice?
determinare il determinante di una matrice non serve per il calcolo dei suoi autovalori (o meglio, serve a volte, ma in ogni caso non completa il lavoro).
Dovresti calcolare le radici del polinomio caratteristico.
Hai trovato il polinomio caratteristico della matrice?
ciao,ho applicato il determinante di $|A'-\lambdaI|$ ed ho trovato :
$ -lambda^3+2lambda^2 -2lambdat +tlambda^2+ 2lambdat^2 $
a questo punto suppongo devo isolare $lambda$ ma ho qualche problemino nel farlo......i valori trovati sono suppongo i miei autovalori.Giusto?
Una volta fatto questo devo: Stabilire per quali valori di t la matrice e digonalizzabile nel campo
reale (si consiglia di determinare preliminarmente per quali valori di t
gli autovalori sono tutti distinti).
a questo proposito devo trovare il valore di t ed ho problemi a farlo...
spero qualcuno mi sappia aiutare.Grazie
$ -lambda^3+2lambda^2 -2lambdat +tlambda^2+ 2lambdat^2 $
a questo punto suppongo devo isolare $lambda$ ma ho qualche problemino nel farlo......i valori trovati sono suppongo i miei autovalori.Giusto?
Una volta fatto questo devo: Stabilire per quali valori di t la matrice e digonalizzabile nel campo
reale (si consiglia di determinare preliminarmente per quali valori di t
gli autovalori sono tutti distinti).
a questo proposito devo trovare il valore di t ed ho problemi a farlo...
spero qualcuno mi sappia aiutare.Grazie
Ok il polinomio caratteristico.
Innanzitutto puoi osservare che puoi riscrivere il polinomio come
$-lambda[lambda^2+(2+t)lambda+(2t^2-2t)]$
Per quali valori di $t$ hai tre radici $lambda_1,lambda_2,lambda_3$ distinte?
Osserva che quello fra parentesi quadre è un polinomio di secondo grado rispetto a $lambda$...quando le sue radici sono distinte?
Innanzitutto puoi osservare che puoi riscrivere il polinomio come
$-lambda[lambda^2+(2+t)lambda+(2t^2-2t)]$
Per quali valori di $t$ hai tre radici $lambda_1,lambda_2,lambda_3$ distinte?
Osserva che quello fra parentesi quadre è un polinomio di secondo grado rispetto a $lambda$...quando le sue radici sono distinte?
suppongo che devo porre tutto=0 quindi:
$lambda_1=0$
$lambda_2=(1/2)(-2-t+sqrt(-7t^2+12t+4)$
$lambda_3=(1/2)(-2-t-sqrt(-7t^2+12t+4)$
Deduco che questi sono i miei tre autovalori....
alla domanda:Determinare al variare del parametro t appartiene R gli autovalori della matrice A. devo fermarmi qua o trovare qualcosaltro?
perchè dovrei trovare i valori di t per cui gli autovalori sono tutti distinti...come faccio a trovare i valori di t???
$lambda_1=0$
$lambda_2=(1/2)(-2-t+sqrt(-7t^2+12t+4)$
$lambda_3=(1/2)(-2-t-sqrt(-7t^2+12t+4)$
Deduco che questi sono i miei tre autovalori....
alla domanda:Determinare al variare del parametro t appartiene R gli autovalori della matrice A. devo fermarmi qua o trovare qualcosaltro?
perchè dovrei trovare i valori di t per cui gli autovalori sono tutti distinti...come faccio a trovare i valori di t???
Per rispondere alle tue domande, basta che ti chiedi: 1)quando una matrice è diagonalizzabile? 2) quando un'equazione di secondo grado ha due radici distinte?
1)una matrice è diagonalizzabile quando ha tre autovalori distinti.....correggetemi se sbaglio
2)un'equazione di secondo grado ha due radici distinte quando delta >o di zero...giusto?
per cui come dovrei fare per il mio esercizio?
2)un'equazione di secondo grado ha due radici distinte quando delta >o di zero...giusto?
per cui come dovrei fare per il mio esercizio?
Se sono tre distinti è diagonalizzabile.
SE due sono coincidenti, devi considerare il sistema lineare $(A-\lambdaI)\vecX=\vec0$;
e quando ammetta $\infty^2$ soluzioni.
SE due sono coincidenti, devi considerare il sistema lineare $(A-\lambdaI)\vecX=\vec0$;
e quando ammetta $\infty^2$ soluzioni.
si il discorso dell'autovettore l'ho capito....il mio problema è trovare la t per determinare gli autovalori....in questo punto mi blocco...su quali basi trovo la t?
Beh ad esempio imponi il $\Delta>0$ e che le radici trovate siano diverse dall'altra (che è $0$) 
Ricorda comunque che una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica ($a_i$) e quella geometrica ($m_i$) di ogni autovalore è uguale.
Poiché si ha $1<=m_i<=a_i$, avere tutte le radici distinte (quindi con molteplicità algebrica $1$) è un criterio sufficiente. Facendo così trovi quindi tutte le $t$ per cui sicuramente vale. Poi ti basta controllare gli altri casi (che si riduce a un caso solo in fondo).
Considera anche che, se la matrice ha $n$ righe, la somma delle molteplicità algebriche ti deve dare $n$, che in questo caso è $3$.
Ricorda comunque che una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica ($a_i$) e quella geometrica ($m_i$) di ogni autovalore è uguale.
Poiché si ha $1<=m_i<=a_i$, avere tutte le radici distinte (quindi con molteplicità algebrica $1$) è un criterio sufficiente. Facendo così trovi quindi tutte le $t$ per cui sicuramente vale. Poi ti basta controllare gli altri casi (che si riduce a un caso solo in fondo).
Considera anche che, se la matrice ha $n$ righe, la somma delle molteplicità algebriche ti deve dare $n$, che in questo caso è $3$.
ho calcolato delta>0 e ho ottenuto che è maggiore di zero per valori esterni con t<-4 unione t>14...ho fatto giusto?
per cui deduco che con -4
dovrei adesso fare $det A-\lambdaI$ con i valori $\lambda=-4$ e $\lambda=14$ per poi trovare rango e tutte e 2 hanno molteplicita 2...giusto?
per cui deduco che con -4
dovrei adesso fare $det A-\lambdaI$ con i valori $\lambda=-4$ e $\lambda=14$ per poi trovare rango e tutte e 2 hanno molteplicita 2...giusto?
scusa -4 e 14 sono i valori di t e da questi deduco i $lambda$ giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo