Autovalori e Autovettori di una matrice 3x3
Salve, dovrei determinare gli autovalori e gli autovettori corrispondenti alla matrice:
$A=((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$
Determino gli autovalori:
$det(A-\lambda I)$
$rArr$$det(((1-\lambda),2,0),(2,(4-\lambda),0),(0,0,(1-\lambda)))$
$rArr$$\lambda=0;\lambda=1;\lambda=5$
e fino a qui sono piuttosto sicuro.
Ora dovrei determinare gli autospazi corrispondenti a tali autovalori, e qui iniziano i problemi
:
Per $\lambda=0$
$((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$$((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
ovvero:
$\{(x+2y=0),(2x+4y=0),(z=0):}$ la prima e la seconda sono uguali, quindi:
$\{(x=-2y),(z=0):}$
Ma poi come trovo i vettori che costituiscono l'autospazio? Come proseguo?
$A=((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$
Determino gli autovalori:
$det(A-\lambda I)$
$rArr$$det(((1-\lambda),2,0),(2,(4-\lambda),0),(0,0,(1-\lambda)))$
$rArr$$\lambda=0;\lambda=1;\lambda=5$
e fino a qui sono piuttosto sicuro.
Ora dovrei determinare gli autospazi corrispondenti a tali autovalori, e qui iniziano i problemi
:Per $\lambda=0$
$((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$$((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
ovvero:
$\{(x+2y=0),(2x+4y=0),(z=0):}$ la prima e la seconda sono uguali, quindi:
$\{(x=-2y),(z=0):}$
Ma poi come trovo i vettori che costituiscono l'autospazio? Come proseguo?
Risposte
Non ho controllato i conti, ma prendiamoli per buoni!
Il tuo autospazio ha dimensione 1, giusto?
Quindi puoi usare [tex]y[/tex] come parametro per trovare un generatore.
Nello specifico, l'autospazio relativo a [tex]\lambda = 0[/tex] è
[tex]$V_0 = \Biggl\{\begin{pmatrix} -2y \\ y \\ 0\end{pmatrix} : y \in \mathbb{R}\Biggr\} = span\Biggl\{\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\Biggr\}$[/tex]
Ora prova con gli altri autovalori, e se hai dubbi chiedi pure!
Il tuo autospazio ha dimensione 1, giusto?
Quindi puoi usare [tex]y[/tex] come parametro per trovare un generatore.
Nello specifico, l'autospazio relativo a [tex]\lambda = 0[/tex] è
[tex]$V_0 = \Biggl\{\begin{pmatrix} -2y \\ y \\ 0\end{pmatrix} : y \in \mathbb{R}\Biggr\} = span\Biggl\{\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\Biggr\}$[/tex]
Ora prova con gli altri autovalori, e se hai dubbi chiedi pure!
"Argentino":
$A=((1,2,0),(2,4,0),(0,0,1))$
Possiamo trovare gli autovalori della matrice senza tanti calcoli:
la terza colonna è $((0),(0),(1))$, quindi $lambda_1 = 1$;
la seconda colonna è multipla della prima, quindi $A$ è singolare ed abbiamo $lambda_2 = 0$;
per trovare il terzo autovalore basta calcolare la traccia di $A$:
$lambda_1 + lambda_2 + lambda_3 = 1+4+1$
$1 + 0 + lambda_3 = 6$
$lambda_3 = 5$ .
"Titania":
Non ho controllato i conti, ma prendiamoli per buoni!
Il tuo autospazio ha dimensione 1, giusto?
Quindi puoi usare [tex]y[/tex] come parametro per trovare un generatore.
Nello specifico, l'autospazio relativo a [tex]\lambda = 0[/tex] è
[tex]$V_0 = \Biggl\{\begin{pmatrix} -2y \\ y \\ 0\end{pmatrix} : y \in \mathbb{R}\Biggr\} = span\Biggl\{\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\Biggr\}$[/tex]
Ora prova con gli altri autovalori, e se hai dubbi chiedi pure!
Ma c'è un motivo preciso per cui utilizzi $y$ (e non $x$ o $z$), o viene uguale per tutte e tre?
Qui ho usato $y$ per comodità, avrei potuto tranquillamente usare $x$ ($z$ no, è sempre uguale a $0$ poverina!)
In ogni caso non sarebbe venuto uguale, avrei ottenuto però una combinazione lineare di quel vettore (per forza, visto che è un generatore).
In pratica usando $x$:
[tex]$\begin{pmatrix}1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0\end{pmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$[/tex]
Quindi puoi comunque ricondurti allo stesso risultato.
In ogni caso non sarebbe venuto uguale, avrei ottenuto però una combinazione lineare di quel vettore (per forza, visto che è un generatore).
In pratica usando $x$:
[tex]$\begin{pmatrix}1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0\end{pmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$[/tex]
Quindi puoi comunque ricondurti allo stesso risultato.
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