Autovalori e autovettori di matrici grandi
ciao
allora mi ritrovo spesso a dover trovare autovalori per matrici grandi e volevo sapere come fate voi a ricavare le radici (zeri) dal polinomio caratteristico che spesso e volentieri ha grado 4,5... io per trovare le radici uso i metodi delle superiori però mi sembra troppo lungo per applicarli durante un esame non è che c'è una semplificazione o un algoritmo per i zeri di polinomi di grado qualsiasi che io ignoro?
riporto un testo d'esame dove mi sono trovato in difficoltà:
Al variare di k considera la matrice$ A=( ( 2k+2 , 2 , 2 ),( 0 , 4 , 0 ),( 1-2k , -3 , 1 ) ) $
1)Trova gli autovalori di A
2)Stabilisci per quali valori di k la matrice A è diagonalizzabile
3)Per i valori di k per cui A e diagonalizzabile trova una base di autovettori.
grazie del attenzione e un saluto
allora mi ritrovo spesso a dover trovare autovalori per matrici grandi e volevo sapere come fate voi a ricavare le radici (zeri) dal polinomio caratteristico che spesso e volentieri ha grado 4,5... io per trovare le radici uso i metodi delle superiori però mi sembra troppo lungo per applicarli durante un esame non è che c'è una semplificazione o un algoritmo per i zeri di polinomi di grado qualsiasi che io ignoro?
riporto un testo d'esame dove mi sono trovato in difficoltà:
Al variare di k considera la matrice$ A=( ( 2k+2 , 2 , 2 ),( 0 , 4 , 0 ),( 1-2k , -3 , 1 ) ) $
1)Trova gli autovalori di A
2)Stabilisci per quali valori di k la matrice A è diagonalizzabile
3)Per i valori di k per cui A e diagonalizzabile trova una base di autovettori.
grazie del attenzione e un saluto
Risposte
"zeri di polinomi qualsiasi" certamente non è possibile mediante somme, moltiplicazioni ed elevamenti a potenza dei coefficienti. (teorema di Abel-Ruffini). Non è possibile dal 5° grado, compreso, in su.
Non so dirti -a me sono sempre capitati polinomi di secondo grado, o nella forma $\lambda^m(al^2 +b\lambda+c)$.
non ho mai dovuto applicare le forumule risolutive per equazioni di terzo o quarto grado, che pure conosco.
Non so dirti -a me sono sempre capitati polinomi di secondo grado, o nella forma $\lambda^m(al^2 +b\lambda+c)$.
non ho mai dovuto applicare le forumule risolutive per equazioni di terzo o quarto grado, che pure conosco.
grazie della risposta
qualcuno sa rispondere alle domande sulla matrice?
qualcuno sa rispondere alle domande sulla matrice?
tu come la risolveresti?
allora pongo $ det(A-pI)=0 $ trovo il determinante con Laplace e ottengo $ -p^3+(7-2k)p^2+(-12-14k)p+24k=0 $ qui non so trovare le radici... non so nemeno per quali valori di $ k $ esistono autovalori
leggendo un po in giro ho capito che quando una matrice e triangolata o diagonalizata ha i autovalori sulla diagonale principale della matrice ma in questo caso la matrice non lo è e non so se con la riduzione di Gaus si ha sempre la stessa applicazione.
leggendo un po in giro ho capito che quando una matrice e triangolata o diagonalizata ha i autovalori sulla diagonale principale della matrice ma in questo caso la matrice non lo è e non so se con la riduzione di Gaus si ha sempre la stessa applicazione.
per quanto riguarda il polinomio caratteristico c'è un errore di calcolo per quanto riguarda il coefficiente di $\lambda^2$.
il risultato corretto dovrebbe essere:
$det(A-\lambdaI)=0 => p(\lambda)=-\lambda^3+(7+2k)\lambda^2-(12+14k)\lambda+24k=0$
a parte questo, nei casi parametrici con la matrice A di ordine >2 è inutile scrivere $p(\lambda)$ come un polinomio dato che poi diventa proibitivo fattorizzarlo in cerca delle radici.
la strada piu 'furba' è calcolare $p(\lambda)$ con laplace, ma non su una linea qualunque.
nel tuo caso è consigliabile calcolare $p(\lambda)$ a partire dalla 2 riga: in questo modo otterrai $p(\lambda)$ gia parzialmente fattorizzato.
infatti avrai: $p(\lambda)=(4-\lambda)(\lambda^2-(3+2k)\lambda+6k)$
ora un primo autovalore è sicuramente $\lambda=4$, per gli altri 2 devi risolvere un'equazione di 2° grado.
il risultato corretto dovrebbe essere:
$det(A-\lambdaI)=0 => p(\lambda)=-\lambda^3+(7+2k)\lambda^2-(12+14k)\lambda+24k=0$
a parte questo, nei casi parametrici con la matrice A di ordine >2 è inutile scrivere $p(\lambda)$ come un polinomio dato che poi diventa proibitivo fattorizzarlo in cerca delle radici.
la strada piu 'furba' è calcolare $p(\lambda)$ con laplace, ma non su una linea qualunque.
nel tuo caso è consigliabile calcolare $p(\lambda)$ a partire dalla 2 riga: in questo modo otterrai $p(\lambda)$ gia parzialmente fattorizzato.
infatti avrai: $p(\lambda)=(4-\lambda)(\lambda^2-(3+2k)\lambda+6k)$
ora un primo autovalore è sicuramente $\lambda=4$, per gli altri 2 devi risolvere un'equazione di 2° grado.
"skeletro":
non so se con la riduzione di Gaus si ha sempre la stessa applicazione.
No. Quando si parla di autovalori/autovettori, il metodo di Gauss non si usa, perché fa perdere tutte le informazioni al riguardo.
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