Autovalori e Autovettori

[Viger1]

ciao a tutti, avrei bisogno di una spiegazione chiara su come si calcolano gli autovalori e autovettori di una matrice magari con qualche semplice esempio


grazie a tutti

[achille_lauro1]

Consideriamo un endomorfismo f: V \(\displaystyle \rightarrow \) V.
\(\displaystyle \lambda \) è un autovalore di f,
se esiste un vettore v non nullo di V tale che
\(\displaystyle f(v) - \lambda *v\) = 0,
ovvero, \(\displaystyle ker (f -\omega_\lambda) \neq \) (0).
I vettori non nulli di ker (f - \(\displaystyle \omega_\lambda \)) sono gli autovettori di f relativi all' autovalore \(\displaystyle \lambda \)
(in unione al vettore nullo sono detti autospazio di f relativo all' autovalore \(\displaystyle \lambda \), A(f,\(\displaystyle \lambda \)).

Ricerca degli autovalori:

dimensione di V finita, n;
riferimento R di V ove l' endomorfismo f abbia matrice A;
\(\displaystyle \lambda \) è un autovalore di f se e solo se ker \(\displaystyle f_A - \omega_\lambda \) è non nullo,
ovvero, \(\displaystyle f_A - \omega_\lambda \) è non iniettivo,
ovvero \(\displaystyle rg (A - \lambda I_n) < n\),
ovvero det(\(\displaystyle A - \lambda I_n) =0\)

Questo determinante è considerabile come un polinomio in K[t] ed è detto polinomio caratteristico della matrice A.
L' insieme delle sue soluzioni nella chiusura algebrica di K è detto spettro della matrice A, S(A).
\(\displaystyle \lambda \) è un autovalore di f se appartiene a K \(\displaystyle \cap \) S(A)

Ricerca degli autovettori:

disponendo delle radici caratteristiche dell' endomorfismo f, ovvero, dello spettro di f, S(f),coincidente con lo spettro di A,
si considera K \(\displaystyle \cap \) S(f).
Se \(\displaystyle \lambda \) è un autovalore per f, ovvero, \(\displaystyle \lambda \in K \cap S(f)\)
det (\(\displaystyle A - \lambda I_n )\) = 0,
ovvero \(\displaystyle rg (A - \lambda I_n ) < n\),
ovvero il sistema lineare omogeneo di n equazioni in n indeterminate
(A - \(\displaystyle \lambda I_n) * x\) = 0 presenta soluzioni non banali:
queste soluzioni sono le componenti rispetto al riferimento R considerato dei
vettori del nucleo dell' endomorfismo \(\displaystyle (f - \omega_\lambda \)),
ovvero le componenti degli autovettori ricercati