Autovalori e autospazi della matrice A (4x4)
Ciao a tutti! Che emozione, il mio primo post ed è perché mi serve una mano 
Sto svolgendo degli esercizi vari, per essere più preciso sto cercando autovalori, autospazi, matrice diagonale e matrice diagonalizzante. Fino ad ora mi sono imbattuto soltanto in matrici 3x3 e col mitico sarrus (con qualche piccolo problema) riesco a gestire la situazione in modo quantomeno dignitoso. Solo che adesso mi sono ritrovato di fronte ad una matrice di questo tipo:
A = $((2,0,0,0),(3,0,0,0),(0,0,2,0),(0,-5,0,3))$
Allora (vi prego, correggetemi se sbaglio) sulla diagonale ho messo un parametro $\lambda$ (che nella matrice simboleggio con A perché ancora non sono pratico di sintassi)
$((2-A,0,0,0),(3,0-A,0,0),(0,0,2-A,0),(0,-5,0,3-A))$
Dunque ho cercato il determinante di questa nuova matrice seguendo i consigli su questo forum e applicando Laplace e, di conseguenza, Sarrus.
Il determinante alla fine mi risulta essere : (2-$\lambda$)(2-$\lambda$)(3-$\lambda$)(-$\lambda$)
Infine le mie domande sono:
Il fatto che ci sia quel (-$\lambda$) significa che 0 è uno degli autovalori che sto cercando? 0 è un valore ammissibile?
Cercando le molteplicità GEOMETRICHE mi risulta che per $\lambda$ = 2 ha come m.g.=2 e m.algebrica=2, mentre per $\lambda$ = 3 mi esce m.a = 1 ma m.g = 0!! è possibile che esca molteplicità algebrica = 0 ?
Grazie a tutti spero riusciate a levarmi questo dubbio è proprio vero che quando incontriamo qualcosa di nuovo si generano sempre problemi 
Ciao e grazie!
Sto svolgendo degli esercizi vari, per essere più preciso sto cercando autovalori, autospazi, matrice diagonale e matrice diagonalizzante. Fino ad ora mi sono imbattuto soltanto in matrici 3x3 e col mitico sarrus (con qualche piccolo problema) riesco a gestire la situazione in modo quantomeno dignitoso. Solo che adesso mi sono ritrovato di fronte ad una matrice di questo tipo:
A = $((2,0,0,0),(3,0,0,0),(0,0,2,0),(0,-5,0,3))$
Allora (vi prego, correggetemi se sbaglio) sulla diagonale ho messo un parametro $\lambda$ (che nella matrice simboleggio con A perché ancora non sono pratico di sintassi)
$((2-A,0,0,0),(3,0-A,0,0),(0,0,2-A,0),(0,-5,0,3-A))$
Dunque ho cercato il determinante di questa nuova matrice seguendo i consigli su questo forum e applicando Laplace e, di conseguenza, Sarrus.
Il determinante alla fine mi risulta essere : (2-$\lambda$)(2-$\lambda$)(3-$\lambda$)(-$\lambda$)
Infine le mie domande sono:
Il fatto che ci sia quel (-$\lambda$) significa che 0 è uno degli autovalori che sto cercando? 0 è un valore ammissibile? Cercando le molteplicità GEOMETRICHE mi risulta che per $\lambda$ = 2 ha come m.g.=2 e m.algebrica=2, mentre per $\lambda$ = 3 mi esce m.a = 1 ma m.g = 0!! è possibile che esca molteplicità algebrica = 0 ?Grazie a tutti spero riusciate a levarmi questo dubbio
è proprio vero che quando incontriamo qualcosa di nuovo si generano sempre problemi Ciao e grazie!
Risposte
ciao.
se il tuo polinomio caratteristico è corretto allora l'autovalore $0$ è ammissibile e in particolare vuol dire che la tua matrice ha nucleo non banale e quindi non è invertibile.
inoltre visto che compare $-\lambda$ hai che la molteplicità geometrica e algebrica coincidono e sono identicamente uguali a uno. "ricorda che la molteplicità geometrica è sempre minore uguale di quella algebrica. e se hai che la molteplicità algebrica è positiva allora la molteplicità geometrica è sempre maggiore o uguale ad 1."
Quindi nel tuo caso visto che $(2-\lambda)^2 (3-\lambda)(-\lambda)$ hai che
m.a e m.g. di 3 sono identiche e valgono 1, stessa cosa dicasi per 0.
mentre per $\lambda=2$ hai che molteplicità algebrica è 2 quindi la m.g. potrebbe essere 1 oppure 2 ma tu hai trovato che è 2 quindi ne deduci che la matrice si diagonalizza.
se il tuo polinomio caratteristico è corretto allora l'autovalore $0$ è ammissibile e in particolare vuol dire che la tua matrice ha nucleo non banale e quindi non è invertibile.
inoltre visto che compare $-\lambda$ hai che la molteplicità geometrica e algebrica coincidono e sono identicamente uguali a uno. "ricorda che la molteplicità geometrica è sempre minore uguale di quella algebrica. e se hai che la molteplicità algebrica è positiva allora la molteplicità geometrica è sempre maggiore o uguale ad 1."
Quindi nel tuo caso visto che $(2-\lambda)^2 (3-\lambda)(-\lambda)$ hai che
m.a e m.g. di 3 sono identiche e valgono 1, stessa cosa dicasi per 0.
mentre per $\lambda=2$ hai che molteplicità algebrica è 2 quindi la m.g. potrebbe essere 1 oppure 2 ma tu hai trovato che è 2 quindi ne deduci che la matrice si diagonalizza.
Quindi in definitiva è diagonalizzabile? Secondo i miei calcoli no! perché la molteplicità algebrica di $\lambda$=3 è 0.
Cioè se sostituendo a $\lambda$ il valore 3 e riducendo la matrice, la trovo di rango massimo (e quindi non riesco a trovare il parametro per costruirmi la base).
Sono veramente molto arrugginito, sopratutto sulla parte teorica quindi non mi rendo conto se dico cose plausibili o meno...
Grazie mille per avermi risposto
Cioè se sostituendo a $\lambda$ il valore 3 e riducendo la matrice, la trovo di rango massimo (e quindi non riesco a trovare il parametro per costruirmi la base).
Sono veramente molto arrugginito, sopratutto sulla parte teorica quindi non mi rendo conto se dico cose plausibili o meno...
Grazie mille per avermi risposto
NO!! hai commesso degli errori nei conti anche perchè si vede ad occhio che se moltiplichi $A$ per il vettore $v=(0,0,0,1)$
ottieni $Av=3v$.
e poi come ti ho detto la molteplicità geometrica non può mai essere nulla se la molteplicità algebrica è positiva!!
ottieni $Av=3v$.
e poi come ti ho detto la molteplicità geometrica non può mai essere nulla se la molteplicità algebrica è positiva!!
TROVATO! Errori nella riduzione della matrice... Grazie Miuemia
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