Autovalori e autospazi
Ciao, per favore potete aiutarmi in un esercizio che mi sta facendo scervellare da qualche giorno:
"Si indichi $AinCC$ tale che $V_(-2+3i) = { x in CC : x_(1) - ix_(2) + x_(3) - ix_(4) = 0}$ ne sia l'unico autospazio."
Io ho trovato una base di $V_(-2+3i)$ : $< ((i),(1),(0),(0)) ; ((-1),(0),(1),(0)) ; ((i),(0),(0),(1))>$ . Se non ci fosse stata l'ultima condizione che $V_(-2+3i)$ deve essere l'unico autospazio, avrei semplicemente trovato A con l'equazione $A*((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))=((-3+2i,2-3i,-3-2i,0),(-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1))$
Scegliendo la quarta colonna arbitrariamente.....Posso fare così? Se $V_(-2+3i)$ deve essere l'unico autospazio vuol dire che A ha come unico autovalore -2+3i con molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 3 e che A non è diagonalizzabile....come far valere questa condizione?
Per esercizi simili avrei potuto anche costruire direttamente la matrice $ A : ((-1+3i,-i,1,-i),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,0),(0,0,0,-2+3i))$ .Questa matrice triangolare avrebbe come autovalore -2+3i e autospazio $V_(-2+3i)$ ma non sarebbe l'unico poiche A ammetterebbe anche come autovalore -1+3i e l'autospazio $V_(-1+3i) = <((1),(0),(0),(0))>$.
non so proprio come fare...cosa sbaglio?
Grazie in anticipo e scusate il disturbo
"Si indichi $AinCC$ tale che $V_(-2+3i) = { x in CC : x_(1) - ix_(2) + x_(3) - ix_(4) = 0}$ ne sia l'unico autospazio."
Io ho trovato una base di $V_(-2+3i)$ : $< ((i),(1),(0),(0)) ; ((-1),(0),(1),(0)) ; ((i),(0),(0),(1))>$ . Se non ci fosse stata l'ultima condizione che $V_(-2+3i)$ deve essere l'unico autospazio, avrei semplicemente trovato A con l'equazione $A*((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))=((-3+2i,2-3i,-3-2i,0),(-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1))$
Scegliendo la quarta colonna arbitrariamente.....Posso fare così? Se $V_(-2+3i)$ deve essere l'unico autospazio vuol dire che A ha come unico autovalore -2+3i con molteplicità algebrica 4 e molteplicità geometrica 3 e che A non è diagonalizzabile....come far valere questa condizione?
Per esercizi simili avrei potuto anche costruire direttamente la matrice $ A : ((-1+3i,-i,1,-i),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,0),(0,0,0,-2+3i))$ .Questa matrice triangolare avrebbe come autovalore -2+3i e autospazio $V_(-2+3i)$ ma non sarebbe l'unico poiche A ammetterebbe anche come autovalore -1+3i e l'autospazio $V_(-1+3i) = <((1),(0),(0),(0))>$.
non so proprio come fare...cosa sbaglio?
Grazie in anticipo e scusate il disturbo
Risposte
Continuando a ragionare su questo esercizio mi è venuto in mente un metodo di risoluzione.
Prendere una colonna ortogonale alla base di $V_(-2+3i)$ : $< ((i),(1),(0),(0)) ; ((-1),(0),(1),(0)) ; ((i),(0),(0),(1))>$ . Ciò è abbastanza facile, per esempio $((-i),(1),(-i),(1))$ rispetto al prodotto hermitiano canonico. Questa colonna non ha nessuna componente rispetto alla base di $V_(-2+3i)$. A questo punto impongo la sequente condizione: $A*((-i),(1),(-i),(1))=((1),(0),(0),(0))$ Cioè far sì che $((-i),(1),(-i),(1))$ non è un autovalore.
Così A non dovrebbe essere diagonalizzabile....cioè ogni vettore moltiplicato ad A ha solo tre componenti che sono autovettori, ma la quarta sicuramente no......
Quindi imposterei l'equazione $A*((i,-1,i,-i),(1,0,0,1),(0,1,0,-i),(0,0,1,1))=((-3+2i,2-3i,-3-2i,1),(-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,0))$
Così può andar bene? E' sbagliato? C'è un metodo più semplice?...Non sono per nulla convinto poichè ci vuole abbastanza a risolvere questa equazione mentre esercizi simili possono essere fatti molto più velocemente....
Aspetto risposte....grazie in anticipo
Prendere una colonna ortogonale alla base di $V_(-2+3i)$ : $< ((i),(1),(0),(0)) ; ((-1),(0),(1),(0)) ; ((i),(0),(0),(1))>$ . Ciò è abbastanza facile, per esempio $((-i),(1),(-i),(1))$ rispetto al prodotto hermitiano canonico. Questa colonna non ha nessuna componente rispetto alla base di $V_(-2+3i)$. A questo punto impongo la sequente condizione: $A*((-i),(1),(-i),(1))=((1),(0),(0),(0))$ Cioè far sì che $((-i),(1),(-i),(1))$ non è un autovalore.
Così A non dovrebbe essere diagonalizzabile....cioè ogni vettore moltiplicato ad A ha solo tre componenti che sono autovettori, ma la quarta sicuramente no......
Quindi imposterei l'equazione $A*((i,-1,i,-i),(1,0,0,1),(0,1,0,-i),(0,0,1,1))=((-3+2i,2-3i,-3-2i,1),(-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,0))$
Così può andar bene? E' sbagliato? C'è un metodo più semplice?...Non sono per nulla convinto poichè ci vuole abbastanza a risolvere questa equazione mentre esercizi simili possono essere fatti molto più velocemente....
Aspetto risposte....grazie in anticipo
Non ho controllato i tuoi conti. Se sono giusti, una matrice "buona" dovrebbe essere la matrice $A$ tale che
$A((i),(1),(0),(-1))=(-2+3i)((i),(1),(0),(-1))=((-3-2i),(-2+3i),(0),(2-3i))$
$A((-1),(0),(1),(0))=(-2+3i)((-1),(0),(1),(0))=((2-3i),(0),(-2+3i),(0))$
$A((i),(0),(0),(1))=(-2+3i)((i),(0),(0),(1))=((-3-2i),(0),(0),(-2+3i))$
$A((1),(0),(0),(0))=(-2+3i)((1),(0),(0),(0))+((i),(0),(0),(1))=((-2+4i),(0),(0),(1))$
Quindi ti serve la matrice $A$ tale che
$A((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))=((-3-2i,2-3i,-3-2i,-2+4i),(2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1))$
Non ne sono certo, prova a controllare!
$A((i),(1),(0),(-1))=(-2+3i)((i),(1),(0),(-1))=((-3-2i),(-2+3i),(0),(2-3i))$
$A((-1),(0),(1),(0))=(-2+3i)((-1),(0),(1),(0))=((2-3i),(0),(-2+3i),(0))$
$A((i),(0),(0),(1))=(-2+3i)((i),(0),(0),(1))=((-3-2i),(0),(0),(-2+3i))$
$A((1),(0),(0),(0))=(-2+3i)((1),(0),(0),(0))+((i),(0),(0),(1))=((-2+4i),(0),(0),(1))$
Quindi ti serve la matrice $A$ tale che
$A((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))=((-3-2i,2-3i,-3-2i,-2+4i),(2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1))$
Non ne sono certo, prova a controllare!
Quindi prendo una quarta colonna linearmente indipendente rispetto alle tre della base di $V_(-2+3i)$ tipo $((1),(0),(0),(0))$ e se $A*((1),(0),(0),(0))$ è uguale alla colonna stessa moltiplicata per l'autovalore che abbiamo più un'altra colonna linearmente indipendente, A sicuramente non è diagonalizzabile?
Posso chiederti come mai?
Posso chiederti come mai?
La matrice che ti ho dato, a meno di miei errori di conti, è simile alla matrice $((-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1),(0,0,0,-2+3i))$ che non è diagonalizzabile (provare per credere ).
In generale, data una matrice diagonale a blocchi $A=((J_1, , ,),( , J_2, , ),( , , ... , ), ( , , , J_k))$ dove ogni blocco $J_i$ (blocco di Jordan) è nella forma (quadrata di ordine $r_i$, triangolare superiore)
$J_i=((\lambda_i,1,0,...,0),(0,\lambda_i,1,...,0),(0,0,\lambda_i,...,0),( , , , ..., ),(0,0,0,...,1),(0,0,0,...,\lambda_i))$.
Allora $A$ è diagonalizzabile se e solo se ognuno dei blocchi di Jordan ha ordine $1$.
Per qualche informazione aggiuntiva, puoi guardare Wikipedia alla voce "Forma canonica di Jordan".
).In generale, data una matrice diagonale a blocchi $A=((J_1, , ,),( , J_2, , ),( , , ... , ), ( , , , J_k))$ dove ogni blocco $J_i$ (blocco di Jordan) è nella forma (quadrata di ordine $r_i$, triangolare superiore)
$J_i=((\lambda_i,1,0,...,0),(0,\lambda_i,1,...,0),(0,0,\lambda_i,...,0),( , , , ..., ),(0,0,0,...,1),(0,0,0,...,\lambda_i))$.
Allora $A$ è diagonalizzabile se e solo se ognuno dei blocchi di Jordan ha ordine $1$.
Per qualche informazione aggiuntiva, puoi guardare Wikipedia alla voce "Forma canonica di Jordan".
Mi sono letto le proprietà del blocco di Jordan è ho le idee molto più chiare, e ti ringrazio molto......però mi è rimasto un solo dubbio su questo esercizio.....
perchè questa condizione
$A((1),(0),(0),(0))=(-2+3i)((1),(0),(0),(0))+((i),(0),(0),(1))=((-2+4i),(0),(0),(1))$ mi assicura che la matrice A non ammette altri autovalori????....
e poi avrei anche un ultima curuiosità...se avessi potuto utilizzare la forma di Jordan per trovare A....con il prodotto
$A=((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))*((-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1),(0,0,0,-2+3i))*((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))^(-1)$
perchè non l'ho trovato scritto ne su wikipedia nè sul mio libro......perchè se così fosse sarebbe un calcolo nè troppo difficile nè troppo lungo.......(cioè se A è simile alla sua forma di Jordan tramite una matrice composta dai vettori della bale del suo autospazio più un vettore linearmente indipendente alla base stessa....)
Grazie ancora per tutto......
perchè questa condizione
$A((1),(0),(0),(0))=(-2+3i)((1),(0),(0),(0))+((i),(0),(0),(1))=((-2+4i),(0),(0),(1))$ mi assicura che la matrice A non ammette altri autovalori????....
e poi avrei anche un ultima curuiosità...se avessi potuto utilizzare la forma di Jordan per trovare A....con il prodotto
$A=((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))*((-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1),(0,0,0,-2+3i))*((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))^(-1)$
perchè non l'ho trovato scritto ne su wikipedia nè sul mio libro......perchè se così fosse sarebbe un calcolo nè troppo difficile nè troppo lungo.......(cioè se A è simile alla sua forma di Jordan tramite una matrice composta dai vettori della bale del suo autospazio più un vettore linearmente indipendente alla base stessa....)
Grazie ancora per tutto......
"Giulio.90":
...però mi è rimasto un solo dubbio su questo esercizio.....
perchè questa condizione
(*) $A((1),(0),(0),(0))=(-2+3i)((1),(0),(0),(0))+((i),(0),(0),(1))=((-2+4i),(0),(0),(1))$ mi assicura che la matrice A non ammette altri autovalori????....
Secondo me, il tutto risiede nella costruzione di $A$. Infatti io la costruisco simile alla matrice
$((-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1),(0,0,0,-2+3i))$
che ammette l'unico autovalore $-2+3i$.
(*) è solo la "traduzione" nel linguaggio delle applicazioni di come deve agire $A$ sul quarto vettore della base.
Forse mi spiegherò meglio rispondendo alla domanda successiva.
"Giulio.90":
se avessi potuto utilizzare la forma di Jordan per trovare A....con il prodotto
$A=((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))*((-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1),(0,0,0,-2+3i))*((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))^(-1)$
...perchè se così fosse sarebbe un calcolo nè troppo difficile nè troppo lungo.......(cioè se A è simile alla sua forma di Jordan tramite una matrice composta dai vettori della bale del suo autospazio più un vettore linearmente indipendente alla base stessa....)
Questa condizione equivale a
$A((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))=((i,-1,i,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))*((-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1),(0,0,0,-2+3i))=((-3-2i,2-3i,-3-2i,-2+4i),(2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1))$
che è esattamente la condizione che avevo posto in uno dei miei post precedenti.
Nota che ciò che abbiamo fatto è semplicemente trovare la matrice associata all'endomorfismo $CC^4\toCC^4$ rispetto alla base canonica noto che la matrice associata rispetto a quell'altra base (che non sto a riscrivere) è $((-2+3i,0,0,0),(0,-2+3i,0,0),(0,0,-2+3i,1),(0,0,0,-2+3i))$
Spero di aver compreso la tua domanda e di aver risposto adeguatamente
Non solo hai capito perfettamente la mia domanda...ma sei riuscito a spiegare la risposta anche ad un capoccione come me!!!!!
Adesso ho tutto chiarissimo.....ti ringrazio infinitamente sei stato provvidenziale
Adesso ho tutto chiarissimo.....ti ringrazio infinitamente sei stato provvidenziale
Di nulla! Lieto di esserti stato utile
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