Autovalori e autospazi
Ho questa matrice $A$:
$((0,-2,0),(0,-2,0),(0,-2,0))$
Il det A è $0$
E' degenere.
Il termine noto non c'è.
i) vedere se è diagonalizzabile.
Trovo il polinomio caratteristico:
$((-t,-2,0),(0,-2-t,0),(0,-2,-t))$ = $t^2(-2-t)$
Quindi $t=0$ c'è molteplicità uguale a $2$
Per $t=-2$ c'è molteplicità uguale a $1$
Quindi la somma delle molteplicità algebriche è $3$, che sono pertanto le righe della matrice $A$ dunque è diagonalizzabile.
ii) quali sono gli autovalori?
$t=0$
$t=-2$
iii) quali sono gli autovettori e autospazi?
Se io mi trovassi una base di autovettori (cosa che non ho capito come si faccia) potrei trovarmi una matrice associata $P$ tale che mi diagonalizzi $A$. (che è un altra richiesta dell'esercizio).
La mia domanda è, come trovo gli autovettori? e gli autospazi?
$((0,-2,0),(0,-2,0),(0,-2,0))$
Il det A è $0$
E' degenere.
Il termine noto non c'è.
i) vedere se è diagonalizzabile.
Trovo il polinomio caratteristico:
$((-t,-2,0),(0,-2-t,0),(0,-2,-t))$ = $t^2(-2-t)$
Quindi $t=0$ c'è molteplicità uguale a $2$
Per $t=-2$ c'è molteplicità uguale a $1$
Quindi la somma delle molteplicità algebriche è $3$, che sono pertanto le righe della matrice $A$ dunque è diagonalizzabile.
ii) quali sono gli autovalori?
$t=0$
$t=-2$
iii) quali sono gli autovettori e autospazi?
Se io mi trovassi una base di autovettori (cosa che non ho capito come si faccia) potrei trovarmi una matrice associata $P$ tale che mi diagonalizzi $A$. (che è un altra richiesta dell'esercizio).
La mia domanda è, come trovo gli autovettori? e gli autospazi?
Risposte
Ok, mi metto a studiare la teoria dalle tue preziosissime spiegazioni.
Domande:
i) Solo un appunto, per vedere se è diagonalizabile non basta vedere ad occhio solo le molteplicità algebriche?
Devo controllare anche il punto ii) della definizione che dice *la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ogni autovalore sono coincidenti*?
ii) Da come ho capito, prima si trovano gli autovalori, autospazi e infine gli autovettori
Da autovalori trovati metto il mio $t_1=0$ e $t_2=-2$ nel polinomio caratteristico:
a) per $t_1=0$
$((0,-2,0),(0,-2,0),(0,-2,0))$
il quale va in forma: -2x_2=0 ovvero x_2=0 che non so come scriverlo in forma $V_0$
b) per $t_2=-2$
$((2,-2,0),(0,0,0),(0,-2,2))$ il quale viene a sistema:
$2x_1-2x_2=0$
$-2x_2+2x_3=0$
$x_1=x_2=x_3$
il che equivale a mettere $K(1,1,1)$
$V_1=K(1,1,1)$
La molteplicità geometrica dovrei vederla nella dimensione di questi due autospazi, se mi da 3 la loro somma posso dire che coincide con quella algebrica e infine affermare che la matrice è diagonalizzabile?
Domande:
i) Solo un appunto, per vedere se è diagonalizabile non basta vedere ad occhio solo le molteplicità algebriche?
Devo controllare anche il punto ii) della definizione che dice *la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ogni autovalore sono coincidenti*?
ii) Da come ho capito, prima si trovano gli autovalori, autospazi e infine gli autovettori
Da autovalori trovati metto il mio $t_1=0$ e $t_2=-2$ nel polinomio caratteristico:
a) per $t_1=0$
$((0,-2,0),(0,-2,0),(0,-2,0))$
il quale va in forma: -2x_2=0 ovvero x_2=0 che non so come scriverlo in forma $V_0$
b) per $t_2=-2$
$((2,-2,0),(0,0,0),(0,-2,2))$ il quale viene a sistema:
$2x_1-2x_2=0$
$-2x_2+2x_3=0$
$x_1=x_2=x_3$
il che equivale a mettere $K(1,1,1)$
$V_1=K(1,1,1)$
La molteplicità geometrica dovrei vederla nella dimensione di questi due autospazi, se mi da 3 la loro somma posso dire che coincide con quella algebrica e infine affermare che la matrice è diagonalizzabile?
No. La molteplicità algebrica e geometrica di ogni singolo autovalore deve coincidere... non la loro somma.
Se vuoi capire il perchè prova a studiare la (semplice) dimostrazione di questo fatto.
Se vuoi capire il perchè prova a studiare la (semplice) dimostrazione di questo fatto.
Da quanto appreso nel corso di Geometria una matrice diagonalizzabile deve soddisfare queste due condizioni:
Se la molteplicita' algebrica degli autovalori e' uguale a 1 anche quella dei rispettivi autospazi (molteplicita' geometrica) deve essere 1. In questo caso e' diagonalizzabile e mi trovo la matrice degli autovettori e la matrice diagonale che e' quella degli autovalori.
Se la molteplicita' algebrica degli autovalori e' diversa da 1,devo andare a verificare quella geometrica nel calcolo degli autospazi,se esse coincidono allora,vuol dire che e' diagonalizzabile,se non coincidono la matrice NON E' diagonalizzabile.
Se la molteplicita' algebrica degli autovalori e' uguale a 1 anche quella dei rispettivi autospazi (molteplicita' geometrica) deve essere 1. In questo caso e' diagonalizzabile e mi trovo la matrice degli autovettori e la matrice diagonale che e' quella degli autovalori.
Se la molteplicita' algebrica degli autovalori e' diversa da 1,devo andare a verificare quella geometrica nel calcolo degli autospazi,se esse coincidono allora,vuol dire che e' diagonalizzabile,se non coincidono la matrice NON E' diagonalizzabile.
Ecco, l'immaginavo che dovevo mettere qualunque valore per $x_1$ e $x_3$
Ora per la famosa molteplicità geometrica.
Il punto ii) diceva che la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ogni autovalore sono coincidenti.
Quindi la molteplicità algebrica per $t=0$ era $2$ e la dimensione della base dell'autospazio è $2$
Molteplicità algebrica per $t=-2$ è $1$ e coincide con quella geometrica che è $1$
Solo ora posso dire che la matrice è *diagonalizzabile*?
Ora per la famosa molteplicità geometrica.
Il punto ii) diceva che la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ogni autovalore sono coincidenti.
Quindi la molteplicità algebrica per $t=0$ era $2$ e la dimensione della base dell'autospazio è $2$
Molteplicità algebrica per $t=-2$ è $1$ e coincide con quella geometrica che è $1$
Solo ora posso dire che la matrice è *diagonalizzabile*?
@MariaCristina87
Quindi per completare l'esercizio dovrei incolonnare i vettori della base dell'autospazio, scrivendo cosi la matrice del
cambiamento $P$ di base che sarebbe la matrice invertibile che dovrebbe diagonalizzare $A$.
Ovvero:
$P$=$((1,0,0),(0,0,1),(1,1,1))$
se è verificato che
$P^-1*A*P$=$((0,0,0),(0,-2,0),(0,0,0))$
ovvero che se la matrice finale ha nella diagonale principale i $3$ autovalori trovati all'inizio, vuol dire che $P$ diagonalizza $A$?
Quindi per completare l'esercizio dovrei incolonnare i vettori della base dell'autospazio, scrivendo cosi la matrice del
cambiamento $P$ di base che sarebbe la matrice invertibile che dovrebbe diagonalizzare $A$.
Ovvero:
$P$=$((1,0,0),(0,0,1),(1,1,1))$
se è verificato che
$P^-1*A*P$=$((0,0,0),(0,-2,0),(0,0,0))$
ovvero che se la matrice finale ha nella diagonale principale i $3$ autovalori trovati all'inizio, vuol dire che $P$ diagonalizza $A$?
Allora praticamente,se le condizioni che ti ho detto sono TUTTE veriicate,scrivi la matrice P con gli autovettori in colonna. Pioi scrivi la matrice diagonale,anche se le righe nulle le avrei scritte alla fine,ma su quest'ultima cosa nn vorrei metterci la mano sul fuoco.
Sull'ultima tua osservazione condivido.
Sull'ultima tua osservazione condivido.
Quindi ora sembrerebbe solo una cosa di conti, cioè trovare la $P^-1$ e vedere se davvero ci viene la matrice con i $3$
autovalori nella diagonale principale. (Io ho supposto che la matrice 'con i 3 autovalori iniziali' sia cosi, ora devo vedere con i
calcoli la posizione degli autovalori nella diagonale principale)
Altra domanda *come trovare una matrice diagonale $D$ simile ad $A$?
Dalla definizione due matrici sono simili quando succede questo: $D=P^-1*A*P$
Ma quale $P$ devo usare?
autovalori nella diagonale principale. (Io ho supposto che la matrice 'con i 3 autovalori iniziali' sia cosi, ora devo vedere con i
calcoli la posizione degli autovalori nella diagonale principale)
Altra domanda *come trovare una matrice diagonale $D$ simile ad $A$?
Dalla definizione due matrici sono simili quando succede questo: $D=P^-1*A*P$
Ma quale $P$ devo usare?
P è una matrice composta dagli autospazi messi in colonna 
Ok, ma la cosa non mi è chiara
L'esercizio mi chiede di trovare:
i) Una matrice diagonale $D$ simile ad $A$
ii) Una matrice invertibile $P$ che diagonalizza $A$
Per il punto ii) credo che ho risolto e ne ho discusso con mariacristina89, ma il punto i) sembra che devo trovare una $D$ la
quale $D$ usando $P$ trovato nella seconda, sarebbe ovviamente la matrice avente per diagonale principale gli autovalori
trovati.
E' cosi?
Qual' è la differenza tra i) e ii)?
L'esercizio mi chiede di trovare:
i) Una matrice diagonale $D$ simile ad $A$
ii) Una matrice invertibile $P$ che diagonalizza $A$
Per il punto ii) credo che ho risolto e ne ho discusso con mariacristina89, ma il punto i) sembra che devo trovare una $D$ la
quale $D$ usando $P$ trovato nella seconda, sarebbe ovviamente la matrice avente per diagonale principale gli autovalori
trovati.
E' cosi?
Qual' è la differenza tra i) e ii)?
E' proprio cosi!
Cioe.. P la trovi mettendo in colonna gli autospazi relativi ai propri autovalori..
Poi ti calcoli l'inversa e fai il prodotto delle 3 matrici
In questo modo ti calcoli D, che sarà una matrice che ha sulla diagonale gli autovalori iniziali..
Cioe.. P la trovi mettendo in colonna gli autospazi relativi ai propri autovalori..
Poi ti calcoli l'inversa e fai il prodotto delle 3 matrici
In questo modo ti calcoli D, che sarà una matrice che ha sulla diagonale gli autovalori iniziali..
mariacristina89
Inizio OT mariacristina87
FINE OT Chiedo scusa ai moderatori era x precisare
"gael90rm":
E' proprio cosi!
Cioe.. P la trovi mettendo in colonna gli autospazi relativi ai propri autovalori..
Poi ti calcoli l'inversa e fai il prodotto delle 3 matriciIn questo modo ti calcoli D, che sarà una matrice che ha sulla diagonale gli autovalori iniziali..
ciao poiche' questa cosa che ho messo in evidenza,non la sapevo,dici l'inversa di P e dovrei trovarmi come risultato la matrice D?
Esatto! P è la matrice composta dagli autospazi relativi agli autovalori corrispondenti.. questa è una matrice sempre invertibile ^^
Posso dire che è l unica cosa che ho capito quest'anno al corso di algebra :S
Posso dire che è l unica cosa che ho capito quest'anno al corso di algebra :S
Quindi, se troviamo in un compito la domanda
i)Trovare una matrice diagonale $D$ simile ad $A$
altro non è che scrivere la matrice avente per diagonale solo gli autovalori trovati e il resto tutto $0$
è questo?
i)Trovare una matrice diagonale $D$ simile ad $A$
altro non è che scrivere la matrice avente per diagonale solo gli autovalori trovati e il resto tutto $0$
è questo?
@clever: Questo succede se e solo se $A$ è diagonalizzabile (in effetti è la definizione).
@mariacristina: Per favore ridimensiona il tuo avatar, come spiegato nel regolamento al punto 2.3
Grazie.
@mariacristina: Per favore ridimensiona il tuo avatar, come spiegato nel regolamento al punto 2.3
L'avatar (immagine identificativa dell'utente che compare sotto il nickname) non deve superare le misure 169x169 pixel (è preferibile però che sia inferiore a 120x140) e le dimensioni del file non devono superare i 10kB.
Grazie.
@dissonance.
Voglio capire per bene perchè nell'esercizio viene prima la domanda:
i)Trovare una matrice diagonale D simile ad A
e poi:
ii) Una matrice invertibile P che diagonalizza A
La prima cosa che va fatta è trovare gli *autovalori* e trovare la molteplicità algebrica.
Quindi *potrei* rispondere alla i) se e solo se mi trovo la base degli autospazi e le relative molteplicità geometriche.
Alla ii) rispondo se e solo se è la matrice $A$ è diagonalizzabile e $P$ per definizione deve essere invertibile
E' questo il ragionamento che va fatto?
Voglio capire per bene perchè nell'esercizio viene prima la domanda:
i)Trovare una matrice diagonale D simile ad A
e poi:
ii) Una matrice invertibile P che diagonalizza A
La prima cosa che va fatta è trovare gli *autovalori* e trovare la molteplicità algebrica.
Quindi *potrei* rispondere alla i) se e solo se mi trovo la base degli autospazi e le relative molteplicità geometriche.
Alla ii) rispondo se e solo se è la matrice $A$ è diagonalizzabile e $P$ per definizione deve essere invertibile
E' questo il ragionamento che va fatto?
Puoi rispondere alla 1) se e solo se conosci gli autovalori e sai che la matrice è diagonalizzabile. Come stabilire che la matrice è diagonalizzabile è a tua scelta; per esempio puoi fare il discorso sulle molteplicità algebrica e geometrica che hai fatto prima (ma non è l'unico sistema). Per rispondere alla 2) devi determinare una base di autovettori per $A$. A quel punto $P$ sarà la matrice di passaggio dalla base canonica di $RR^n$ a questa base di autovettori. Consulta il manuale di algebra lineare for dummies di Sergio: troverai che in questo caso (e solo in questo) la matrice $P$ ha sulle colonne le componenti degli autovettori.
Questo perché quando si usa la base canonica di $RR^n$ si vengono a sovrapporre due concetti diversi: quello di vettore e quello di coordinate di un vettore.
Se vuoi un consiglio, investi uno/due giorni a studiare approfonditamente "Algebra lineare for dummies". Ti servirà molto per l'esame.
Questo perché quando si usa la base canonica di $RR^n$ si vengono a sovrapporre due concetti diversi: quello di vettore e quello di coordinate di un vettore.
Se vuoi un consiglio, investi uno/due giorni a studiare approfonditamente "Algebra lineare for dummies". Ti servirà molto per l'esame.
Quindi per vedere che una matrice è *diagonalizzabile* non c'è solo il sistema di controllare le due definizioni della molteplicità
algebrica uguale a quella geometrica e la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori deve essere uguali al numero di
righe?
Quale sarebbe l'altro sistema?
L'unico tipo di matrice che si vede ad occhio se è diagonalizzabile è quella simmetrica, vero?
algebrica uguale a quella geometrica e la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori deve essere uguali al numero di
righe?
Quale sarebbe l'altro sistema?
L'unico tipo di matrice che si vede ad occhio se è diagonalizzabile è quella simmetrica, vero?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo