Autovalori e autospazi
Ciao a tutti, sto per la prima volta tentando la famosa analisi 2 ma avendo dato tempo fa analisi 1 diverse cose le ho dimenticate e avrei bisogno di una rinfrescata.
Ho il seguente esercizio: Calcola autovalori $lambda$ della matrice
Per ogni $lambda$ determina una base dell'autospazio $S(lambda)$ e la sua dimensione $dim[S(lambda)]$.
Trovati gli autovalori ($1$ e $2$ con molteplicità $m(1)=2$ e $m(2)=1$) devo trovare dimensione e base dell'autospazio.
Per $lambda=2$ dovrebbe essere:
da cui la dimensione dell'autospazio è
e la dimensione della base dell'autospazio è
Per $lambda=1$, invece, dovrebbe essere:
da cui la dimensione dell'autospazio è
Ora trovo difficoltà a determinare la base. Sapendo che ho due autovalori dovrò trovare due autovettori... Andando a ricevimento del docente mi è stato spiegato che dovrei fare:
Ora, provando a rifare quanto dettomi a casa, io faccio:
ma non so come determinare il secondo autovettore. Potreste aiutarmi?
Ho il seguente esercizio: Calcola autovalori $lambda$ della matrice
$ A=( ( 3 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Per ogni $lambda$ determina una base dell'autospazio $S(lambda)$ e la sua dimensione $dim[S(lambda)]$.
Trovati gli autovalori ($1$ e $2$ con molteplicità $m(1)=2$ e $m(2)=1$) devo trovare dimensione e base dell'autospazio.
Per $lambda=2$ dovrebbe essere:
$ A=( ( 1 , 2 , 0 ),( -1 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) -> det| ( -2 , 0 ),( 0 , -1 ) |=2 ->R(A)=2 $
da cui la dimensione dell'autospazio è
$ dim(S(2))=dim(Ker(A2))=3-dim(Im(A2))=3-R(A2))3-2=1 $
e la dimensione della base dell'autospazio è
$ { ( -2x2=x1 ),( -x3=0 ):}{ ( x2=-(1)/2x1 ),( x3=0 ):} $ da cui ponendo $l=x1 in R$ si ha $ [ ( l ),( (1)/2l ),( 0 ) ]=l[ ( 1 ),( (1)/2 ),( 0 ) ] $, ovvero $S(2)={bar(x) in R3:bar(x)=l[ ( 1 ),( (1)/2 ),( 0 ) ], l in R}$.
Per $lambda=1$, invece, dovrebbe essere:
$ A=( ( 2 , 2 , 0 ),( -1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) -> det| (2) |=1 ->R(A)=1 $
da cui la dimensione dell'autospazio è
$ dim(S(1))=dim(Ker(A1))=3-dim(Im(A1))=3-R(A1))3-1=2 $
Ora trovo difficoltà a determinare la base. Sapendo che ho due autovalori dovrò trovare due autovettori... Andando a ricevimento del docente mi è stato spiegato che dovrei fare:
$2x1+2x2+x3=0 -> { ( 2x1=2k+0h ),( x2=k),( x3=h ):} $ da cui $bar(x)= [ ( k ),( k ),( h ) ] =k[ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] +h[ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $
Ora, provando a rifare quanto dettomi a casa, io faccio:
$ { ( 2x1=2x2 ),( x3=0 ):} $ . Pongo $k=x2inR:bar(x)= [ ( k ),( k ),( 0 ) ] =k[ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] $
ma non so come determinare il secondo autovettore. Potreste aiutarmi?
Risposte
"mobley":
Andando a ricevimento del docente mi è stato spiegato che dovrei fare:
$ 2x1+2x2+x3=0 -> { ( 2x1=2k+0h ),( x2=k),( x3=h ):} $ da cui $ bar(x)= [ ( k ),( k ),( h ) ] =k[ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] +h[ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $
Ora, provando a rifare quanto dettomi a casa, io faccio:
$ { ( 2x1=2x2 ),( x3=0 ):} $ . Pongo $ k=x2inR:bar(x)= [ ( k ),( k ),( 0 ) ] =k[ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] $
A prescindere dal fatto che è sbagliato $ 2x1+2x2+x3=0$; perrché hai posto $x_3=0$?
Calcoliamo gli autovettori di $lambda_1=1$
$( ( 2 , 2 , 0 ),( -1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
$hArr ( ( 1 , 1, 0 ),( 0 ,0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$
$hArr x+y=0$
si tratta di un'equazione lineare in tre incognite, di cui una dipendente (pivot): $x$; e due indipendenti: $y,z$.
Per cui le soluzioni sono:
${ ( x=-y ),( y in RR ),( z in RR):} hArr ((-y),(y),(z))=y((-1),(1),(0))+z((0),(0),(1))$
Quindi si ottiene che una base per l'autospazio $S(1)$ è:
${((-1),(1),(0)),((0),(0),(1))}$
da ciò si conclude subito che $dim(S(1))=2$!
premettendo che la sezione più adatta è quella di geometria, cominciamo....
anzitutto un'osservazione: per determinare la dimensione fai a meno di calcolare il rango. dobbiamo già calcolare la base e la dimensione è definita come la cardinalità di una base. quindi il passaggio del rango è inutile e porta via solo tempo.
quindi:
$lambda = 2$
l'autospazio è definito come il nucleo di $A-lambda_i I$. per cui risolvo il sistema $A vecx = vec0$ dove
$ A=( ( 1 , 2 , 0 ),( -1 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $ e $vecx = (x,y,z)$.
ottengo quindi il sistema:
$ { ( x+2y=0 ),( -z=0 ):} hArr { (y in RR),( x=-2y ),( z=0 ):} $
quindi una base dell'autospazio (che poi corrisponde all'autovettore relativo a $lambda = 2$) è: $vecv= (-2,1,0)$
$lambda=1$
procedendo come prima ottengo il sistema:
$ { ( 2x+2y=0 ),( -x-y=0 ):} hArr { (y in RR),( z in RR ),( x=-y ):} $
che porta ad avere una base costituita da: $(-1,1,0)$ e $(0,0,1)$
anzitutto un'osservazione: per determinare la dimensione fai a meno di calcolare il rango. dobbiamo già calcolare la base e la dimensione è definita come la cardinalità di una base. quindi il passaggio del rango è inutile e porta via solo tempo.
quindi:
$lambda = 2$
l'autospazio è definito come il nucleo di $A-lambda_i I$. per cui risolvo il sistema $A vecx = vec0$ dove
$ A=( ( 1 , 2 , 0 ),( -1 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ) $ e $vecx = (x,y,z)$.
ottengo quindi il sistema:
$ { ( x+2y=0 ),( -z=0 ):} hArr { (y in RR),( x=-2y ),( z=0 ):} $
quindi una base dell'autospazio (che poi corrisponde all'autovettore relativo a $lambda = 2$) è: $vecv= (-2,1,0)$
$lambda=1$
procedendo come prima ottengo il sistema:
$ { ( 2x+2y=0 ),( -x-y=0 ):} hArr { (y in RR),( z in RR ),( x=-y ):} $
che porta ad avere una base costituita da: $(-1,1,0)$ e $(0,0,1)$
Grazie ad entrambi per le risposte, sto cercando di capirci qualcosa.
@cooper: Per la base dell'autospazio $S(1)$ trovo l'autovettore $ bar(u)=h[ ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ] $ , ma non capisco come derivare l'altro autovettore, cioè $bar(v)=[ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $.
A ricevimento domandai espressamente se fosse corretto utilizzare la proprietà dell'ortogonalità tra vettori (cioè scrivere
dato che una base è formata da vettori indipendenti tra loro, e dunque ortogonali)
ma mi ha guardato come se avessi bestemmiato
@cooper: Per la base dell'autospazio $S(1)$ trovo l'autovettore $ bar(u)=h[ ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ] $ , ma non capisco come derivare l'altro autovettore, cioè $bar(v)=[ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $.
A ricevimento domandai espressamente se fosse corretto utilizzare la proprietà dell'ortogonalità tra vettori (cioè scrivere
$bar(u) \cdot bar(v)=h \cdotk[ ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ]\cdot[ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ]=h\cdotk[0+0+0]=0$
dato che una base è formata da vettori indipendenti tra loro, e dunque ortogonali)
ma mi ha guardato come se avessi bestemmiato
"mobley":
A ricevimento domandai espressamente se fosse corretto ecc ecc
sinceramente non so a cosa serva.
per l'altro vettore semplicemente deriva dalla forma dal generico vettore dell'autospazio. se alla risoluzione del sistema ci sei, allora un vettore dell'autospazio ha la forma $((-y),(y),(z))$ che può essere scritto come:
$((-y),(y),(z))=y((-1),(1),(0))+z((0),(0),(1))$
Ok, forse ci sono... Posto un altro esercizio come controprova.
Calcola autovalori e autovettori della matrice
Per ciascun autovalore $lambda$ calcola la dimensione e una base dell'autospazio $S(lambda)$ e spiega che cosa rappresenta geometricamente tale spazio vettoriale. La matrice è diagonalizzabile?
1) Gli autovalori sono $lambda1=-2$ con molteplicità algebrica $m(-2)=2$ e $lambda2=5$ con molteplicità algebrica $m(5)=1$.
2.a) Data la matrice $ [ ( 1 , 3 , -8 ),( 0 , -7 , 0 ),( 1 , 0 , -8 ) ] $, la dimensione e la base dell'autospazio $S(5)$ sono rispettivamente:
2.b) Data la matrice $ [ ( 8 , 3 , -8 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ] $, la dimensione e la base dell'autospazio $S(-2)$ sono rispettivamente:
3) La matrice non è diagonalizzabile dato che, per $lambda=-2$, molteplicità geometrica e molteplicità algebrica non coincidono.
In questo esercizio, dunque, ho per $lambda=-2$ una dimensione uguale a $1$ per cui il numero dei vettori che forma la base è$1$. Nell'esercizio iniziale, invece, avevo una dimensione uguale a $2$ per cui il numero dei vettori della base dovevano essere $2$. Infatti:
Ho inserito $x3$ nel vettore dell'autospazio perché ho $0=0$. Se mi fosse venuto $x3=0$ il vettore dell'autospazio sarebbe stato $ ( ( -x2 ),( x2 ),( 0 ) ) $.
Calcola autovalori e autovettori della matrice
$ A=( ( 6 , 3 , -8 ),( 0 , -2 , 0 ),( 1 , 0 , -3 ) ) $
Per ciascun autovalore $lambda$ calcola la dimensione e una base dell'autospazio $S(lambda)$ e spiega che cosa rappresenta geometricamente tale spazio vettoriale. La matrice è diagonalizzabile?
1) Gli autovalori sono $lambda1=-2$ con molteplicità algebrica $m(-2)=2$ e $lambda2=5$ con molteplicità algebrica $m(5)=1$.
2.a) Data la matrice $ [ ( 1 , 3 , -8 ),( 0 , -7 , 0 ),( 1 , 0 , -8 ) ] $, la dimensione e la base dell'autospazio $S(5)$ sono rispettivamente:
$dim(S(5))=1$
$ { ( x1+3x2-8x3=0 ),( -7x2=0 ),( x1-8x3=0 ):}{ ( 8x3+3(0)-8x3=0 ),( x2=0 ),( x1=8x3 ):}{ ( 0=0 ),(x2=0 ),( x1=8x3 ):} $ da cui se $ ( ( 8x3 ),( 0 ),( x3 ) ) $, per $x3=l$ ho $ bar(x)=( ( 8l ),( 0 ),( l ) ) =l( ( 8 ),( 0 ),( 1) ) $
$S(5)={bar(x)inR3:bar(x)=l( ( 8 ),( 0 ),( 1) ), l in R}$
$S(5)={bar(x)inR3:bar(x)=l( ( 8 ),( 0 ),( 1) ), l in R}$
2.b) Data la matrice $ [ ( 8 , 3 , -8 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ] $, la dimensione e la base dell'autospazio $S(-2)$ sono rispettivamente:
$dim(S(-2))=1$
$ { ( 8x1+3x2-8x3=0 ),( x1-x3=0 ):}{ ( 8x3+3x2-8x3=0 ),( x1=x3 ):}{ ( x2=0 ),(x1=x3 ):} $ da cui se $ ( ( x3 ),( 0 ),( x3 ) ) $, per $x3=k$ ho $ bar(u)=( ( k ),( 0 ),( k ) ) =k( ( 1 ),( 0 ),( 1) )$
$S(5)={bar(u)inR3:bar(x)=k( ( 1 ),( 0 ),( 1) ), l in R}$
3) La matrice non è diagonalizzabile dato che, per $lambda=-2$, molteplicità geometrica e molteplicità algebrica non coincidono.
In questo esercizio, dunque, ho per $lambda=-2$ una dimensione uguale a $1$ per cui il numero dei vettori che forma la base è$1$. Nell'esercizio iniziale, invece, avevo una dimensione uguale a $2$ per cui il numero dei vettori della base dovevano essere $2$. Infatti:
$ { ( 2x1+2x2=0 ),( -x1-x2=0 ):}{ ( -2x2+2x2=0 ),( x1=-x2 ):}{ ( 0=0 ),( x1=-x2 ):} $ da cui se $ ( ( -x2 ),( x2 ),( x3 ) ) $, per $x2=k$ e $x3=h$ ho $ bar(u)=( ( -k ),( k ),( 0 ) ) +( ( 0 ),( 0 ),( h ) ) =k( ( -1 ),( 1 ),( 0) )+h( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$
Ho inserito $x3$ nel vettore dell'autospazio perché ho $0=0$. Se mi fosse venuto $x3=0$ il vettore dell'autospazio sarebbe stato $ ( ( -x2 ),( x2 ),( 0 ) ) $.
tutto esatto. 
solo una cosa per pignoleria.....
manca un meno al primo vettore
solo una cosa per pignoleria..... "mobley":
ho u¯=⎛⎝⎜−kk0⎞⎠⎟+⎛⎝⎜00h⎞⎠⎟=k⎛⎝⎜110⎞⎠⎟+h⎛⎝⎜001⎞⎠⎟
manca un meno al primo vettore
Hai ragione!
Sapresti dirmi inoltre come rispondere alla domanda teorica? Vale a dire la rappresentazione geometrica dell'autospazio?
Dagli appunti che ho preso a lezione ho le seguenti definizioni:
- "il nucleo è il sottospazio del dominio che associa allo spazio di arrivo tutti i vettori nulli dello spazio di partenza"
- "l'immagine è il sottospazio del dominio che contiene tutti gli elementi del tipo $f(x)$ dello spazio di partenza"
- "gli autovettori sono vettori paralleli alla loro immagine tramite la funzione lineare considerata"
Tuttavia non ne capisco bene il significato (quantomeno un significato "comprensibile") e non riesco ad unirle in modo tale da formulare una definizione geometrica chiara di autospazio
Sapresti dirmi inoltre come rispondere alla domanda teorica? Vale a dire la rappresentazione geometrica dell'autospazio?
Dagli appunti che ho preso a lezione ho le seguenti definizioni:
- "il nucleo è il sottospazio del dominio che associa allo spazio di arrivo tutti i vettori nulli dello spazio di partenza"
- "l'immagine è il sottospazio del dominio che contiene tutti gli elementi del tipo $f(x)$ dello spazio di partenza"
- "gli autovettori sono vettori paralleli alla loro immagine tramite la funzione lineare considerata"
Tuttavia non ne capisco bene il significato (quantomeno un significato "comprensibile") e non riesco ad unirle in modo tale da formulare una definizione geometrica chiara di autospazio
rappresenta il luogo dei punti fissi della trasformazione. in particolare gli autovettori sono le direzioni invarianti dell'endomorfismo mentre gli autovalori sono il fattore di scala.
se per esempio consideri le rotazioni in $RR^3$, allora gli autovettori sono gli assi di rotazione mentre l'autospazio l'insieme di tutti questi assi.
se per esempio consideri le rotazioni in $RR^3$, allora gli autovettori sono gli assi di rotazione mentre l'autospazio l'insieme di tutti questi assi.
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