Autovalori distinti di due matrici quadrate
Se ho due matrici quadrate A, B con $t_1$ autovalore di A e $t_2$ autovalore di B e se i i sottospazi $ker(A-t_1I_n)$ e $ker(B-t_2I_n)$ non sono in somma diretta, come faccio a dimostrare che $t_1t_2$ è autovalore di AB?
Risposte
Ciao, credo che si possa vedere chiaro se usi il teorema di Binet.
Quando calcoli l'autovalore t1 è quel valore per cui il determinante della matrice A sia 0,
cosi quando calcoli l'autovalore t2 della matrice B.
Per Binet il det(A*B)=det(A)*det(B). Se tu volessi calcolare l'autovalore di A*B, sarebbero i valori per cui il determinante di A*B sia 0, quindi o il det(A) deve essere 0 o il det(B) oppure entrambi
Quando calcoli l'autovalore t1 è quel valore per cui il determinante della matrice A sia 0,
cosi quando calcoli l'autovalore t2 della matrice B.
Per Binet il det(A*B)=det(A)*det(B). Se tu volessi calcolare l'autovalore di A*B, sarebbero i valori per cui il determinante di A*B sia 0, quindi o il det(A) deve essere 0 o il det(B) oppure entrambi
Parlare di determinante e polinomio caratteristico però non è diverso?
Cioè come dici tu io dovrei vedere se $det((A-t_1I_n)(B-t_2I_n))=det(A-t_1I_n)det(B-t_1I_n)$. La cosa è valida per i determinanti e per le potenze (tipo $|A^n|=|A|^n$) ma vale anche per il polinomio caratteristico?
Cioè come dici tu io dovrei vedere se $det((A-t_1I_n)(B-t_2I_n))=det(A-t_1I_n)det(B-t_1I_n)$. La cosa è valida per i determinanti e per le potenze (tipo $|A^n|=|A|^n$) ma vale anche per il polinomio caratteristico?
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