Autovalori distinti

[Amedim]

Buongiorno ragazzi,
sono alle prese con un nuovo esercizio di diagonalizzabilita' di una matrice che è la seguente:
$ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , t ),( 1 , t , 1 ) ) $

Ecco, dopo aver calcolato il polinomio caratteristico e scomposto ottengo i seguenti autovalori:

$lambda_1$=1
$lambda_2$=1-$sqrt(1+t^2)$
$lambda_3$=1+$sqrt(1+t^2)$

Adesso, procedendo con le uguaglianze tra questi troverei che gli autovalori non coincidono per nessun valore appartenente ad R e quindi potrei in questo caso concludere dicendo che la matrice è certamente diagonalizabile? Le molteplicita' algebriche saranno pari ad 1 cosi come quelle geometriche.

E' sbagliato?

[Amedim]

"TeM":Esatto! Infatti, una matrice di ordine n che ammette n autovalori distinti è sicuramente diagonalizzabile!
Nello specifico, se \(t \ne \pm \, \text{i}\) la matrice è sicuramente diagonalizzabile e quindi lo è indubbiamente \(\forall\,t \in \mathbb{R}\).

P.S.: ricorda anche che una matrice reale simmetrica è sempre diagonalizzabile!

Benissimo, grazie 1000!!

[Amedim]

"Amedim":[quote="TeM"]Esatto! Infatti, una matrice di ordine n che ammette n autovalori distinti è sicuramente diagonalizzabile!
Nello specifico, se \(t \ne \pm \, \text{i}\) la matrice è sicuramente diagonalizzabile e quindi lo è indubbiamente \(\forall\,t \in \mathbb{R}\).

P.S.: ricorda anche che una matrice reale simmetrica è sempre diagonalizzabile!

Benissimo, grazie 1000!! [/quote]

Scusami continuo ad avere un dubbio pero: avendo svolto un altro esercizio in cui mi viene una nuova equazione tra autovalori che ha soluzioni solo nel campo complesso, dovrei comunque svolgerla? Cioè in sintesi quando mi vengono soluzioni complesse come devo comportarmi con lo studio della diagonalizzabilita? Dico che è diagonalizzabile perchè gli autovalori sono distinti in R?

[Amedim]

"TeM":[quote="Amedim"]Quando mi vengono soluzioni complesse come devo comportarmi con lo studio della diagonalizzabilità?

Dunque, dato uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(K\) e un endomorfismo \(T : V \to V\) la cui matrice associata rispetto
ad una base di \(V\) è \(A\), è di spiccato interesse individuare, se esistono, le coppie \((\lambda,\,\mathbf{u})\), dove \(\lambda \in K\) e \(\mathbf{u} \in V\), tali che
\(A\,\mathbf{u} = \lambda\,\mathbf{u}\). Si definiscono \(\lambda\) autovalore e \(\mathbf{u}\) autovettore di \(A\). Tale equazione, in maniera del tutto naturale, la si può
scrivere come \(A\,\mathbf{u} - \lambda\,\mathbf{u} = \mathbf{0}\) e ancora come \((A - \lambda\,I)\,\mathbf{u} = \mathbf{0}\). Scartata la soluzione banale \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\), perché di scarso
interesse, l'equazione in oggetto è verificata se e soltanto se \(\det(A - \lambda\,I) = 0\), dove il polinomio a sinistra dell'uguale
in letteratura è noto come polinomio caratteristico di \(A\).

Ebbene, per definizione, \(A\) è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale \(D\), ovvero esiste una matrice \(P\), detta
matrice diagonalizzante, tale che \(P^{-1}\,A\,P = D\) è una matrice diagonale. Condizione necessaria e sufficiente affinché \(A\)
sia diagonalizzabile è che la somma delle molteplicità algebriche dei propri autovalori sia pari al proprio ordine \(n\) e che la
molteplicità geometrica di ciascun autovettore coincida con la molteplicità geometrica dell'autovalore associato. In parti-
colare, \(P\) è una matrice le cui colonne coincidono con gli autovettori di \(A\), mentre \(D\) è una matrice diagonale ove sono
posti i rispettivi autovalori di \(A\).

A valle di tutto ciò, dovrebbe essere chiaro che la diagonalizzabilità di \(A\) dipende dal campo \(K\) considerato; nella fatti-
specie \(K = \mathbb{R}\) oppure \(K = \mathbb{C}\)? Se la matrice \(A\) è una matrice a valori reali (contenente magari anche parametri, ma
anch'essi reali) allora se almeno un autovalore è complesso la matrice non è diagonalizzabile in \(\mathbb{R}\), mentre se \(A\) è una
matrice a valori complessi allora la prima condizione sulla diagonalizzabilità è sempre soddisfatta, occorrerà constatare
se è soddisfatta anche la seconda: in caso affermatico \(A\) è diagonalizzabile in \(\mathbb{C}\), altrimenti non lo è.

Spero sia sufficientemente chiaro. [/quote]

Chiarissimo fin qui ci sono. Qundi secondo te procedo bene ad esempio studiando una diagonalizzabilita' in questo modo:

1) calcolo il polinomio caratteristico, lo scompongo ricavando gli autovalori dipendenti dal parametro es t;

2) vado ad eguagliare gli autovalori (generalmente escono equazioni irrazionali o equazioni che come soluzione danno appunto un numero complesso e quindi posso dire che sono distinti in quel caso se ad esempio stiamo lavorando su un endomorfismo $R^3 rarr R^3$ )
Per i valori=t trovati gli autovalori coincidono e quindi l'endomorfismo è diagonalizzabile per tutti i t diversi da quel valore trovato

3) vado poi a studiare cosa accade alla matrice con t= quei valori e vedere le relative molteplicita algebriche e geometriche.

Se sono stato abbastanza chiaro a riportarlo, E' corretto questo procedimento? mi stanno sorgendo molti dubbi, scusami

[Amedim]

"TeM":Sì, il tuo modo di procedere è corretto! Se potessero esserti utili, ti liko delle utilissime dispense di Geometria e Algebra Lineare che coprono in lungo e in largo gli argomenti che si è soliti incontrare nei corsi ingegneristici. Ogni capitolo di tali dispense contiene un sacco di tracce di esercizi, seguite da delle sintesi in cui si mettono in luce i concetti teorici chiave ed infine le risoluzioni dettagliate di tutti gli esercizi scritte in maniera chiarissima; globalmente sono 422 pagine di pdf.

Grazie 1000, gentilissimo!