Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale
Sia $f$ $in$ $L(V,V)$ l'endomorfismo simmetrico dell'$RR$ spazio vettoriale Euclideo $(V,<,>)$ di $dimV=n$. Allora esiste $lambda$ $in $ $R-{0}$ tale che $lambda$ appartiene
allo spettro di $f$.
Per preparare l'esame orale ho cercato su internet la dimostrazione di questo fatto ma non ho trovato nulla di così specifico.
Qualcuno ha un testo/pdf dove trovarla?
Oppure qualcuno mi può dare una mano?
Grazie
allo spettro di $f$.
Per preparare l'esame orale ho cercato su internet la dimostrazione di questo fatto ma non ho trovato nulla di così specifico.
Qualcuno ha un testo/pdf dove trovarla?
Oppure qualcuno mi può dare una mano?
Grazie
Risposte
"Sergio":
Secondo me non lo trovi perché è falso.
Ma come??
l'ho trovato negli appunti del mio professore.
per quale motivo sarebbe falsa?
Grazie
@Aletzunny
Quanti endomorfismi simmetrici (o anche non) conosci che abbiano come immagine il solo vettore nullo?
Quanti endomorfismi simmetrici (o anche non) conosci che abbiano come immagine il solo vettore nullo?
"Bokonon":
@Aletzunny
Quanti endomorfismi simmetrici (o anche non) conosci che abbiano come immagine il solo vettore nullo?
Quello del $ker$(?)
"Sergio":
Se $f\in L(V,V)$ è simmetrico, un corollario del teorema spettrale ti dice che gli autovalori sono tutti reali, ma non ti dice che sono tutti non nulli.
I casi sono tre:
a) è un automorfismo;
b) nell'enunciato $\lambda \in RR - {0}$ è scivolato dalla penna e si deve intendere $\lambda \in RR$ e basta;
c) mi perdo qualcosa
Ma è esiste... cioè almeno c'è un autovalore diverso da zero...
@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.
"Bokonon":
@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.
Dunque così questa potrebbe essere la dimostrazione?
Nel senso mi aspettavo molti passaggi
Devi dimostrarlo però.
Una volta che hai l'impianto logico, richiama un paio di teoremi (spettrale e rango+nullità) per dimostrare che, oltre il caso banale, l'immagine di un endomorfismo ha dimensione $>=1$ per cui il kernel ha dimensione massima $n-1$, etc etc
Una volta che hai l'impianto logico, richiama un paio di teoremi (spettrale e rango+nullità) per dimostrare che, oltre il caso banale, l'immagine di un endomorfismo ha dimensione $>=1$ per cui il kernel ha dimensione massima $n-1$, etc etc
Quindi, perdonami, la tesi segue perché la dimensione del $ker$ in un endomorfismo al massimo è sempre $n-1$ (da dimostrare) e la dimensione dell'immagine è sempre $>=1$(da dimostrare).
Ma perché allora da ciò si può dire che certamente un autovalore sarà diverso da $0$ ?
Pensavo di aver capito, ma mi sto perdendo su questo aspetto.
Grazie
Ma perché allora da ciò si può dire che certamente un autovalore sarà diverso da $0$ ?
Pensavo di aver capito, ma mi sto perdendo su questo aspetto.
Grazie
La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.
"Bokonon":
La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.
Ecco capito il motivo: il mio prof usa questo fatto che esista almeno un autovalore diverso da zero per poter dimostrare a passi il teorema spettrale reale!
L'unico suggerimento per la dimostrazione è stato quello di dirci di considerare la matrice $A=A^T in M_n(RR)$ e interpretarla come matrice su $CC$ con il proprio prodotto scalare hermitiano di $(CC)^n$
Ma non ho davvero idea di come procedere.
Spero però di aver dato l'idea
Prendi la dimostrazione generale del teorema in $CC$ e considera il caso particolare
"Bokonon":
Prendi la dimostrazione generale del teorema in $CC$ e considera il caso particolare
Teorema spettrale o quello che assicura che anche in $CC$ $lambda$ è in $RR$ ?
È la stessa cosa. Il teorema generale assicura che gli autovalori siano comunque reali e include ovviamente anche il caso in cui le entrate delle matrici abbiano le parti immaginarie nulle (quindi quando $A^T=A$)
Grazie
"Sergio":
[quote="Aletzunny"]L'unico suggerimento per la dimostrazione è stato quello di dirci di considerare la matrice A=AT∈Mn(R) e interpretarla come matrice su C con il proprio prodotto scalare hermitiano di (C)n
In una forma sesquilineare (ed è tale il prodotto hermitiano) si ha \(\langle \alpha v,w\rangle = \alpha\langle v,w\rangle\), \(\langle v,\alpha w\rangle = \overline\alpha\langle v,w\rangle\).
Se $A$ è un operatore simmetrico, si ha \(\langle Av,w\rangle=\langle v,Aw\rangle\). Se \(\lambda\) è un autovalore, se cioè \(Av=\lambda v\), si ha \(\langle \lambda v,w\rangle = \langle v,\lambda w\rangle\).
Ma si ha anche \(\lambda \langle v,w\rangle=\overline\lambda\langle v, w\rangle\), quindi \(\lambda = \overline\lambda\), cioè \(\lambda\in\mathbb{R}\).[/quote]
Ma questo implica che sia diverso da zero almeno un autovalore?
"Bokonon":
@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.
Detto così, è falso. Per esempio,
\[
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\]
non è identicamente nulla e ha solo \(0\) come autovalore. Bisogna usare il fatto che la matrice è simmetrica, naturalmente, e quella di questo esempio non lo è.
@Dissonance
Ok sono stato stringato e impreciso in quel post ma avrai letto pure gli altri.
Ok sono stato stringato e impreciso in quel post ma avrai letto pure gli altri.
"Bokonon":
La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.
Questo non è corretto e preciso?
Ecco me l'hai confuso con intervento francamente inutilmente pignolo.
@Aletzunny va benissimo.
Però dovresti averlo capito oramai il ragionamento e di conseguenza la critica di dissonance al post in cui non ho scritto tutti i passaggi a differenza di quello che hai quotato.
@Aletzunny va benissimo.
Però dovresti averlo capito oramai il ragionamento e di conseguenza la critica di dissonance al post in cui non ho scritto tutti i passaggi a differenza di quello che hai quotato.
"Bokonon":
Ecco me l'hai confuso con intervento francamente inutilmente pignolo.
@Aletzunny va benissimo.
Però dovresti averlo capito oramai il ragionamento e di conseguenza la critica di dissonance al post in cui non ho scritto tutti i passaggi a differenza di quello che hai quotato.
No no non mi sono confuso per una volta!
Ho capito benissimo sia la "critica" di Dissonance che però, secondo me, era già stata corretta/rivista nel tuo post scritto dopo...
O no?
Perchè sostanzialmente mancava l'ipotesi importante dell'essere simmetrico
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