Autovalori di matrici simili
Ciao a tutti.
ho la matrice
$A =((-1,0,1/2),(1,-1,-9/4),(0,1,2))$
sostanzialmente devo verificare che il raggio spettrale di $A+I$ sia $<1$
Per farlo calcolo
$B=A+I=((0,0,1/2),(1,0,-9/4),(0,1,3)) $
e permuto 2 volte le righe per ottenere una matrice triangolare (quindi il determinate non cambia)
$B'=((1,0,-9/4),(0,1,3),(0,0,1/2)) $
cosi' il calcolo del polinomio caratteristico e' immediato:
$det(B'-\lambda I)= (1-\lambda)^2(1/2-\lambda)$
da cui risulterebbe $\rho(B')=1$
il mio dubbio e': posso concludere che anche $\rho(B)=1$ ?
in altre parole: $B$ e $B'$ hanno gli stessi autovalori?
ho la matrice
$A =((-1,0,1/2),(1,-1,-9/4),(0,1,2))$
sostanzialmente devo verificare che il raggio spettrale di $A+I$ sia $<1$
Per farlo calcolo
$B=A+I=((0,0,1/2),(1,0,-9/4),(0,1,3)) $
e permuto 2 volte le righe per ottenere una matrice triangolare (quindi il determinate non cambia)
$B'=((1,0,-9/4),(0,1,3),(0,0,1/2)) $
cosi' il calcolo del polinomio caratteristico e' immediato:
$det(B'-\lambda I)= (1-\lambda)^2(1/2-\lambda)$
da cui risulterebbe $\rho(B')=1$
il mio dubbio e': posso concludere che anche $\rho(B)=1$ ?
in altre parole: $B$ e $B'$ hanno gli stessi autovalori?
Risposte
Nessuno? Per favore, mi servirebbe una risposta in tempi brevi...
Ma perché non verifichi direttamente se B e B' hanno i medesimi autovalori ? Non è una coxa impossibile...
Addirittura gli autovalori di $B'$ sono già noti: essendo la matrice in forma triangolare gli autovalori coincidono con gli elementi sulla diagonale.
Mi spiego meglio: vorrei sapere se esiste qualche proprietà/teorema/quello che volete che mi assicuri che B e B' abbiano gli stessi autovalori.
Perche' in tal caso avrebbe senso cercare di portare B in forma triangolare, altrimenti posso mettermi il cuore in pace e calcolare il polinomio caratteristico di B con il metodo usuale, senza prima renderla triangolare.
Infatti e' per questo che mi tornerebbe comodo sapere se $B$ e $B'$ hanno gli stessi autovalori.
Perche' in tal caso avrebbe senso cercare di portare B in forma triangolare, altrimenti posso mettermi il cuore in pace e calcolare il polinomio caratteristico di B con il metodo usuale, senza prima renderla triangolare.
"minomic":
Addirittura gli autovalori di $B'$ sono già noti: essendo la matrice in forma triangolare gli autovalori coincidono con gli elementi sulla diagonale.
Infatti e' per questo che mi tornerebbe comodo sapere se $B$ e $B'$ hanno gli stessi autovalori.
Non ho capito una cosa: hai calcolato gli autovalori di $B$? Cosa non ti è ancora chiaro?
Gli autovalori di $B'$ sono noti e sono ${1/2, 1, 1}$. Invece gli autovalori di $B$ sono ${2, 1/2, 1/2}$ quindi diversi. Concludiamo che non esiste alcuna proprietà.
Gli autovalori di $B'$ sono noti e sono ${1/2, 1, 1}$. Invece gli autovalori di $B$ sono ${2, 1/2, 1/2}$ quindi diversi. Concludiamo che non esiste alcuna proprietà.
ok grazie!
ma scusa... $B'$ è ottenuta da $B$ scambiando due volte due righe per cui giustamente $text{det}(B)=text{det}(B')$; se però calcoli $B-tI$ e poi scambi le stesse due colonne non ottieni $B'-tI$ ma una matrice diversa. Il determinante è invariante per similitudini, mentre matrici ottenute le une dalle altre tramite operazioni su righe e colonne non sono (necessariamente?) simili (vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Equivalenz ... ra_matrici)
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