Autovalori con delta negativo
Ragazzi, devo calcolare gli autovalori della matrice:
$A = ((1, 1, 2),(1, 1, 2),(1, 1, 2))$
Dopo aver calcolato il determinante del polinomio caratteristico, mi trovo un delta negativo:
$lambda^3 - 4lambda^2 + 10$
Come risolvo una situazione del genere?
$A = ((1, 1, 2),(1, 1, 2),(1, 1, 2))$
Dopo aver calcolato il determinante del polinomio caratteristico, mi trovo un delta negativo:
$lambda^3 - 4lambda^2 + 10$
Come risolvo una situazione del genere?
Risposte
La matrice e' esplicitamente ad entrate reali? In tal caso, visto che le radici del polinomio caratteristico sono tutti e soli gli autovalori della matrice, la matrice semplicemente non ha neanche un autovalore. Altrimenti avrai autovalori complessi, credo.
Ho aperto un topic simile ieri sera --ancora non ho ricevuto risposta.
A mente fresca pero' direi di essere abbastanza sicuro di quello che ti dico sopra.
Ho aperto un topic simile ieri sera --ancora non ho ricevuto risposta.
A mente fresca pero' direi di essere abbastanza sicuro di quello che ti dico sopra.
sei sicuro di aver fatto i calcoli corretti??? allora dato che le righe di A sono tutte linearmente dipendenti, il determinate è nullo, ciò significa che almeno uno dei 3 autovalori è uguale a 0, dato che il determinante è dato dal prodotto degli autovalori...e il polinomio che hai ottenuto tu non mi pare si annulli per $lambda=0$, il che ti doveva suggerire che i calcoli forse non erano corretti...mi sono rifatto il calcolo (come esercizio dato che era da un pò che non mi capitava di calcolare gli autavalori)..io ho ottenuto $|(A-lambda I)|= lambda^3-3 lambda^2-4 lambda $ e quindi ho trovato 3 autovalori reali e distinti precisamente $ lambda_1=0, lambda_2=4, lambda_3=-1$
"MasterCud":
il determinate è nullo, ciò significa che almeno uno dei 3 autovalori è uguale a 0, dato che il determinante è dato dal prodotto degli autovalori...
Questo non e' vero solo nel caso in cui la matrice e' diagonalizzabile? In generale non mi pare ci sia da aspettarselo ...
Ci sta che il polinomio non abbia radici reali, no?
Comunque anche io ho rifatto i conti, ma ho ottenuto che
\[ P_A(x) = -x^2 (x -4) \]
ma non sono un granche' con i conti.
Ad ogni modo, Mr.Mazzarr ora tocca a te.
"giuscri":
[quote="MasterCud"]il determinate è nullo, ciò significa che almeno uno dei 3 autovalori è uguale a 0, dato che il determinante è dato dal prodotto degli autovalori...
Questo non e' vero solo nel caso in cui la matrice e' diagonalizzabile? In generale non mi pare ci sia da aspettarselo ...
Ci sta che il polinomio non abbia radici reali, no?
[/quote]
è vero sempre!!! se la matrice è diagonale gli autovalori corrispondono proprio agli elementi della diagonale e quindi l'unica differenza è che li individui subito, a differenza della matrice data invece in cui bisogna andarsi a fare il calcoletto!!! cmq guarda i tuoi calcoli sono corretti non avevo voglia e ho aperto matlab
so che non si dovrebbe fare per una 3x3 ma non ho resistito...per farsi tornare questi esercizi tipicamente li devo fare 2 o 3 volte e il tuo risultato è corretto 1 autovalore uguale a zero di molteplicità doppia e uno uguale a 4 per cui il tuo è il risultato corretto!!!
[ot]
No, non sono d'accordo.
\( \lambda \) e' autovalore per \( f \in \operatorname{End}(V) \) sse e' autovalore della matrice associata \( A \) , sse
\[ \operatorname{ker}( A - \lambda I_n ) \neq \{ \mathbf{0}\} \]
sse
\[ \operatorname{rank}(A - \lambda I_n) < n \]
con \( n \) dimensione di \( V \), sse
\[ P_A(\lambda) := \operatorname{det}(A - \lambda I_n) = 0 \]
i.e. sse e' radice del polinomio caratteristico.
Se il polinomio non ha radici reali, e la matrice e' ad entrate reali, la matrice non ha autovalori.
Non trovi?[/ot]
"MasterCud":
è vero sempre!!!
No, non sono d'accordo.
\( \lambda \) e' autovalore per \( f \in \operatorname{End}(V) \) sse e' autovalore della matrice associata \( A \) , sse
\[ \operatorname{ker}( A - \lambda I_n ) \neq \{ \mathbf{0}\} \]
sse
\[ \operatorname{rank}(A - \lambda I_n) < n \]
con \( n \) dimensione di \( V \), sse
\[ P_A(\lambda) := \operatorname{det}(A - \lambda I_n) = 0 \]
i.e. sse e' radice del polinomio caratteristico.
Se il polinomio non ha radici reali, e la matrice e' ad entrate reali, la matrice non ha autovalori.
Non trovi?[/ot]
Avevo commesso errori di calcolo, ora mi trovo ed era come ha fatto giuscri. 
Ma la somma delle molteplicità algebriche deve sempre risultare pari al numero di righe della matrice?
"Mr.Mazzarr":
Ma la somma delle molteplicità algebriche deve sempre risultare pari al numero di righe della matrice?
... ? Prova ad essere piu' preciso.
Per esempio, concordate con me che la matrice reale
\[ A := \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]
non ha autovalori reali --i.e. non ha autovalori?
\[ A := \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]
non ha autovalori reali --i.e. non ha autovalori?
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