Autovalori, Autovettori e diagonalizzabilità di FA
Sia \(\displaystyle A = {\left(\matrix{{1}&{2}&{1}\\{2}&{4}&{2}\\{1}&{2}&{1}}\right)} \) e sia la funzione (F) appartenente alle matrici reali 3X3 ; definita la funzione F(x)= AX - XA
Determinare autovalori e autovettori di f e discuterne la diagonazzabilità.
Per prima cosa ho proceduto a scrivermi la rappresentazione matriciale della funzione (rispetto alla base canonica) e ho ottenuto questa matrice:
\(\displaystyle {\left(\matrix{{0}&{2}&{1}&{-2}&{0}&{0}&{-1}&{0}&{0}\\{2}&{3}&{2}&{0}&{-2}&{0}&{0}&{-1}&{0}\\{1}&{2}&{0}&{0}&{0}&{-2}&{0}&{0}&{-1}\\{-2}&{0}&{0}&{-3}&{2}&{1}&{-2}&{0}&{0}\\{0}&{-2}&{0}&{2}&{0}&{2}&{0}&{-2}&{0}\\{0}&{0}&{-2}&{1}&{2}&{-3}&{0}&{0}&{-2}\\{-1}&{0}&{0}&{-2}&{0}&{0}&{0}&{2}&{1}\\{0}&{-1}&{0}&{0}&{-2}&{0}&{2}&{3}&{2}\\{0}&{0}&{-1}&{0}&{0}&{-2}&{1}&{2}&{0}}\right)} \)
Con dimensione 9x9! Ho dunque notato che è simmetrica e dunque diagonalizzabile.
A questo punto devo procedere a trovarmi gli autovalori e autovettori sapendo, che ho la traccia = 0 e il determinante = 0, la somma dei miei autovalori e autovettori finali dovrà essere 0.
Il problema sorge nella determinazione di questi, poichè devo trovare il determinante della matrice trovata tramite il polinomio caratteristico che è 9x9.
Dunque ho pensato di utilizzare la triangolarizzazione per cercare di trovare il determinante senza La Place.... Ma purtroppo date le dimensioni della matrice ho trovato troppe difficoltà.
Potrei lavorare a blocchi, ma non sono molto brava nel farlo.
Qualcuno puoi gentilmente darmi qualche idea?
Determinare autovalori e autovettori di f e discuterne la diagonazzabilità.
Per prima cosa ho proceduto a scrivermi la rappresentazione matriciale della funzione (rispetto alla base canonica) e ho ottenuto questa matrice:
\(\displaystyle {\left(\matrix{{0}&{2}&{1}&{-2}&{0}&{0}&{-1}&{0}&{0}\\{2}&{3}&{2}&{0}&{-2}&{0}&{0}&{-1}&{0}\\{1}&{2}&{0}&{0}&{0}&{-2}&{0}&{0}&{-1}\\{-2}&{0}&{0}&{-3}&{2}&{1}&{-2}&{0}&{0}\\{0}&{-2}&{0}&{2}&{0}&{2}&{0}&{-2}&{0}\\{0}&{0}&{-2}&{1}&{2}&{-3}&{0}&{0}&{-2}\\{-1}&{0}&{0}&{-2}&{0}&{0}&{0}&{2}&{1}\\{0}&{-1}&{0}&{0}&{-2}&{0}&{2}&{3}&{2}\\{0}&{0}&{-1}&{0}&{0}&{-2}&{1}&{2}&{0}}\right)} \)
Con dimensione 9x9! Ho dunque notato che è simmetrica e dunque diagonalizzabile.
A questo punto devo procedere a trovarmi gli autovalori e autovettori sapendo, che ho la traccia = 0 e il determinante = 0, la somma dei miei autovalori e autovettori finali dovrà essere 0.
Il problema sorge nella determinazione di questi, poichè devo trovare il determinante della matrice trovata tramite il polinomio caratteristico che è 9x9.
Dunque ho pensato di utilizzare la triangolarizzazione per cercare di trovare il determinante senza La Place.... Ma purtroppo date le dimensioni della matrice ho trovato troppe difficoltà.
Potrei lavorare a blocchi, ma non sono molto brava nel farlo.
Qualcuno puoi gentilmente darmi qualche idea?
Risposte
Ma la matrice X sarebbe $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ ?
No penso proprio che sia: a b c Perchè sennò non appartiene allo spazio 3X3
d e f
g h i
d e f
g h i
@g.longhi: Prova a sostituire
\[
X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
\]
(ti consiglio di farlo, davvero). In questo modo ti potrai rendere conto che la differenza \(AX-XA\) non ha senso. Infatti \(X\) deve per forza essere una matrice 3 x 3.
@mufi: Ma così non ne esci più. Non sei mica una macchina, come fai a gestire matrici tanto grandi? Devi sfruttare la grossa simmetria del tuo problema: \(A\) è una matrice simmetrica e \(F(X)\) è un commutatore (si chiama così la differenza \(AX-XA\), perché in un certo senso misura la non-commutatività di \(A\) e \(X\). Una curiosità: il commutatore è il concetto fondamentale della meccanica quantistica.)
Prova a partire da una matrice diagonalizzante per \(A\), sia essa \(U\), e scrivi
\begin{equation}\tag{1}
A=UDU^{-1}.
\end{equation}
Puoi fare in modo che \(U\) sia una matrice ortogonale, in modo che \(U^{-1}=U^T\): questo ti risparmierà qualche conto. Dopodiché considera l'equazione agli autovalori \(F(X)=\lambda X\), ovvero
\[\tag{2}
AX-XA=\lambda X.
\]
Che succede se introduci la (1) nella (2)?
Un appunto:
\[
X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
\]
(ti consiglio di farlo, davvero). In questo modo ti potrai rendere conto che la differenza \(AX-XA\) non ha senso. Infatti \(X\) deve per forza essere una matrice 3 x 3.
@mufi: Ma così non ne esci più. Non sei mica una macchina, come fai a gestire matrici tanto grandi? Devi sfruttare la grossa simmetria del tuo problema: \(A\) è una matrice simmetrica e \(F(X)\) è un commutatore (si chiama così la differenza \(AX-XA\), perché in un certo senso misura la non-commutatività di \(A\) e \(X\). Una curiosità: il commutatore è il concetto fondamentale della meccanica quantistica.)
Prova a partire da una matrice diagonalizzante per \(A\), sia essa \(U\), e scrivi
\begin{equation}\tag{1}
A=UDU^{-1}.
\end{equation}
Puoi fare in modo che \(U\) sia una matrice ortogonale, in modo che \(U^{-1}=U^T\): questo ti risparmierà qualche conto. Dopodiché considera l'equazione agli autovalori \(F(X)=\lambda X\), ovvero
\[\tag{2}
AX-XA=\lambda X.
\]
Che succede se introduci la (1) nella (2)?
Un appunto:
sia la funzione (F) appartenente alle matrici reali 3X3Questa cosa che scrivi è priva di senso e inutile. Cancellala. Cerca di esprimerti bene, è una cosa molto importante.
Qui c'è un esercizio simile: diagonalizzabilita-t87788.html In effetti, conveniva lavorare in una base che diagonalizza la matrice di partenza.
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