Autovalori autovettori e diagonalizzabilità

[lex1531]

salve, innanzitutto complimenti per il forum, è molto esaustivo è ho levato molti miei dubbi sulla materia

ora mi è rimasto solo un dubbio: autovalori e autovettori e diagonalizzabilità!!!

lo so che dovrei provare a dire un mio svolgimento dell'esercizio ma il fatto è che non ne ho la piu pallida idea di come ci si mette mano su un esercizio del genere.

vi ringrazio in anticipo delle risposte!

ECCO L'ESERCIZIO:

$ fh : (x; y; z) in R3 --> (x + hy;-hx + y + z; y + z) in R3,h in R $

A) autovalori di fh
B) Determinare i valori del parametro h tali che fh sia diagonalizzabile.
C) Determinare i valori del parametro h tali che (1; 0; 3) sia un autovettore di fh.

[walter891]

per prima cosa devi scrivere la matrice associata all'applicazione lineare, in questo caso una matrice quadrata di ordine $3$, tieni presente che dovrà contenere il parametro $h$

[lex1531]

"walter89":per prima cosa devi scrivere la matrice associata all'applicazione lineare, in questo caso una matrice quadrata di ordine $3$, tieni presente che dovrà contenere il parametro $h$

$ ( ( 1 , h , 0 ),( -h , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $

giusto???

[lex1531]

"lex153":[quote="walter89"]per prima cosa devi scrivere la matrice associata all'applicazione lineare, in questo caso una matrice quadrata di ordine $3$, tieni presente che dovrà contenere il parametro $h$

$ ( ( 1 , h , 0 ),( -h , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $

giusto???[/quote]


ok allora mi sono ripassato un po di cose vediamo se il ragionamento è giusto:

supponendo che la matrice associata sia giusta ...

sfrutto la relazione |A-It| che mi da la matrice

$ ( ( 1-t , h , 0 ),( -h , 1-t , 1 ),( 0 , 1 , 1-t ) ) $

clacolo il determinante : $ (1-t)^3-[(1-t)+ h^2(1-t)] $


e ho come soluzioni: $ t ne 1 , t ne 1+-sqrt(1+h^2) $

quindi ho come autovalori: $ k1=1 , k2=1+sqrt(1+h^2) , k2=1-sqrt(1+h^2) $

[lex1531]

come si trovano gli autovettori???

[walter891]

gli autovettori si calcolano risolvendo il sistema $A-tI=0$ dove sostituisci a $t$ i singoli autovalori
però secondo me la matrice $A$ è la trasposta di quella che hai scritto tu perchè sono le colonne ad essere formate dall'applicazione lineare sui vettori della base in ingresso

[lex1531]

"walter89":gli autovettori si calcolano risolvendo il sistema $A-tI=0$ dove sostituisci a $t$ i singoli autovalori

ma gli autovalori li ho calcolati bene??

[j18eos]

Supposto che sia corretto il polinomio caratteristico [tex]$(1-t)^3-[(1-t)+h^2(1-t)]=(1-t)[(1-t)^2-1-h^2]$[/tex] gli autovalori da te calcolati sarebbero corretti!