Autovalori autovettori e autospazi senza determinante
Ciao a tutti, all'esame avevo un esercizio che era circa così:
Avevo una matrice $A$ 3x3 diagonalizzabile in $RR$ (con coefficienti molto grandi), di cui sapevo che $-7$ era un autovalore. E dovevo trovare autovalori autovettori e autospazi.
Sapendo che $-7$ era autovalore, ho calcolato $A+7k$. e ho trovato l'autospazio di $-7$ che aveva dimensione 2, e quindi la moleplicità algebrica di $-7$ era 2.
Ora, SENZA calcolare il polinomio caratteristico (visto che i calcoli per il determinante erano con 3 4 cifre), come potevo calcolare l'altro autovalore e l'altro autospazio? Il polinomio era senza dubbio nella forma $p_A(t)=(t+7)^2q(t)$ con $q(-7)!=0$, ma come andare avanti (se non per tentativi)??
Grazie!
Avevo una matrice $A$ 3x3 diagonalizzabile in $RR$ (con coefficienti molto grandi), di cui sapevo che $-7$ era un autovalore. E dovevo trovare autovalori autovettori e autospazi.
Sapendo che $-7$ era autovalore, ho calcolato $A+7k$. e ho trovato l'autospazio di $-7$ che aveva dimensione 2, e quindi la moleplicità algebrica di $-7$ era 2.
Ora, SENZA calcolare il polinomio caratteristico (visto che i calcoli per il determinante erano con 3 4 cifre), come potevo calcolare l'altro autovalore e l'altro autospazio? Il polinomio era senza dubbio nella forma $p_A(t)=(t+7)^2q(t)$ con $q(-7)!=0$, ma come andare avanti (se non per tentativi)??
Grazie!
Risposte
Il secondo autospazio deve essere ortogonale al primo e quindi l'autovettore deve essere ortogonale allo spazio generato dai primi due, che è un piano. Tenta questa strada.
Sennò puoi usare la traccia.
[edit] nel caso non fosse noto: data una matrice $A=(a_{i,j})_{i,j=1..n}$, $"traccia"(A)=a_{1,1}+a_{2,2}+...+a_{n,n}$. Questa è sempre uguale alla somma degli autovalori. E' facile da dimostrare nel caso di matrici diagonalizzabili: difatti la traccia è invariante per similitudine. Questo segue da un'altra proprietà della traccia, questa: $"traccia"(AB)="traccia"(BA)$ per ogni coppia di matrici $A, B$ quadrate dello stesso ordine.
[edit] nel caso non fosse noto: data una matrice $A=(a_{i,j})_{i,j=1..n}$, $"traccia"(A)=a_{1,1}+a_{2,2}+...+a_{n,n}$. Questa è sempre uguale alla somma degli autovalori. E' facile da dimostrare nel caso di matrici diagonalizzabili: difatti la traccia è invariante per similitudine. Questo segue da un'altra proprietà della traccia, questa: $"traccia"(AB)="traccia"(BA)$ per ogni coppia di matrici $A, B$ quadrate dello stesso ordine.
"ggallo":
Il secondo autospazio deve essere ortogonale al primo
Perchè?
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