Autovalori
Scusata ho una matrice fatta in questo modo:
$A=I+v v^t$ dove siamo nel caso di dimensione generica, con $v^t=(sqrt(\gamma),0,...,0,sqrt(\gamma))$.
La mia proff ha detto che gli autovalori si possono calcolare direttamente senza effettuare calcoli, osservando semplicemente che $A$ è somma di una matrice che ha tutti autovalori $1$ e una matrice di rango 1, il cui altro autovalore era qualcosa legato alla norma, ma sinceramente non so a cosa si riferisce...
Potete illuminarmi.
Grazie in anticipo.
$A=I+v v^t$ dove siamo nel caso di dimensione generica, con $v^t=(sqrt(\gamma),0,...,0,sqrt(\gamma))$.
La mia proff ha detto che gli autovalori si possono calcolare direttamente senza effettuare calcoli, osservando semplicemente che $A$ è somma di una matrice che ha tutti autovalori $1$ e una matrice di rango 1, il cui altro autovalore era qualcosa legato alla norma, ma sinceramente non so a cosa si riferisce...
Potete illuminarmi.
Grazie in anticipo.
Risposte
Si guarda gli autovalori di quelle matrici si calcolano facilmente. Nel seguito con $v*w$ si intende $v^T w$. Se scrivi l'equazione agli autovalori te ne accorgi subito:
$(I+v v^T)x=lambda x$ diventa
$x+(v*x)v=lambda x$ (E)
quindi per $x=v$ hai un $(1+|v|^2)$-autovettore ($|v|^2=v*v$). Hai poi $n-1$ vettori (linearmente indipendenti) ortogonali a $v$, diciamo $w_1 ldots w_{n-1}$, che invece sono $1$-autovettori, come si vede subito sostituendo $x=w_j, lambda=1$ nella (E). E quindi abbiamo trovato $n$ autovettori linearmente indipendenti, perciò non ce ne possono essere altri: concludiamo che gli autovalori di $I+v v^T$ sono $1, 1+|v|^2$.
_________________
P.S.: La tua prof ha usato un risultato generale: gli autovalori di $I+A$ sono ${1+lambda_1 ldots 1+lambda_n}$, dove $lambda_1 ldots lambda_n$ sono gli autovalori di $A$. In questo caso $A=v v^T$: essendo una matrice di rango 1 può avere al più un autovalore non nullo, e con il ragionamento di prima si vede che esso è $|v|^2$. Quindi gli autovalori di $I+ v v^T$ sono ${1+|v|^2, 1+0 ldots 1+0}$.
$(I+v v^T)x=lambda x$ diventa
$x+(v*x)v=lambda x$ (E)
quindi per $x=v$ hai un $(1+|v|^2)$-autovettore ($|v|^2=v*v$). Hai poi $n-1$ vettori (linearmente indipendenti) ortogonali a $v$, diciamo $w_1 ldots w_{n-1}$, che invece sono $1$-autovettori, come si vede subito sostituendo $x=w_j, lambda=1$ nella (E). E quindi abbiamo trovato $n$ autovettori linearmente indipendenti, perciò non ce ne possono essere altri: concludiamo che gli autovalori di $I+v v^T$ sono $1, 1+|v|^2$.
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P.S.: La tua prof ha usato un risultato generale: gli autovalori di $I+A$ sono ${1+lambda_1 ldots 1+lambda_n}$, dove $lambda_1 ldots lambda_n$ sono gli autovalori di $A$. In questo caso $A=v v^T$: essendo una matrice di rango 1 può avere al più un autovalore non nullo, e con il ragionamento di prima si vede che esso è $|v|^2$. Quindi gli autovalori di $I+ v v^T$ sono ${1+|v|^2, 1+0 ldots 1+0}$.
"dissonance":
$x+(v*x)v=lambda x$ (E)
Hai poi $n-1$ vettori (linearmente indipendenti) ortogonali a $v$, diciamo $w_1 ldots w_{n-1}$, che invece sono $1$-autovettori, come si vede subito sostituendo $x=w_j, lambda=1$ nella (E).
Non mi è chiaro il passaggio per cui $1$ è autovalore di $w_j$. Hai prima usato $Ax=(I+v v^t)x=x+v v^t x$ poi usando il fatto che $v^t x= x v$ sei arrivato a dire che $ x+v v^t x=x+(v*x)v$ a questo punto ho $x+(v*x)v=\lambda x$ mi sorge ora spontanea la domanda se $\lambda=1$ allora $(vxv)=0$ ma cosa è questo prodotto $vxv$???
Grazie per l'attenzione.
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