Autovalori

[Sk_Anonymous]

Mi è stato assegnato un esercizio di questo tipo:

Una matrice A del terzo ordine invertibile ammette l'autovalore -detA.
Inoltre risulta trA = - detA. Provare che 1 e -1 sono i restanti autovalori di A.

Utilizzando il polinomio caratteristico:
$-lambda^3 + lambda^2*trA - k*lambda + detA$ dove con -k si indica il coefficiente di $lambda$
e poi sostituendo le quantità note riesco a trovare la soluzione...

ma c'è un modo per dimostrare che è diagonalizzabile per poi poter usare le proprietà: detA=prodotto autovalori e trA=somma autovalori?

[TomSawyer1]

Cioè tu riesci a risolvere l'esercizio, ma vuoi sapere se c'è un modo per dimostrare che è diagonalizzabile? Prova a spiegarti meglio, se non è così. Tu sai per certo, intanto, che A è diagonalizzabile se $\detA\ne\pm1$.

[Sk_Anonymous]

Stavo infatti cercando un modo per dimostrare che una matrice invertibile con quelle caratteristiche è diagonalizzabile.

Conoscendo la tesi (gli altri due autovalori sono +1 e -1) lo è sicuramente visto che il polinomio caratteristico di grado 3 ha 3 soluzioni distinte, ma come fare per dimostrarlo conoscendo solo le ipotesi?


Tra l'altro perchè dici che A è diagonalizzabile se $detA!=+-1$ ?

[n.icola114]

perchè se il $det(A) != +-1$ allora la matrice ha tre autovalori distinti e quindi è sicuramente diagonalizzabile

[TomSawyer1]

Studi sempre il polinomio caratteristico, dal quale vedi subito che gli altri due autovalori devono essere distinti, dato che $-detA*\lambda_2*\lambda_3=detA$. E' il metodo più semplice, non capisco perché vorresti altri metodi.

[fedefede72]

"yavanna":Mi è stato assegnato un esercizio di questo tipo:

Una matrice A del terzo ordine invertibile ammette l'autovalore -detA.
Inoltre risulta trA = - detA. Provare che 1 e -1 sono i restanti autovalori di A.

Utilizzando il polinomio caratteristico:
$-lambda^3 + lambda^2*trA - k*lambda + detA$ dove con -k si indica il coefficiente di $lambda$
e poi sostituendo le quantità note riesco a trovare la soluzione...

ma c'è un modo per dimostrare che è diagonalizzabile per poi poter usare le proprietà: detA=prodotto autovalori e trA=somma autovalori?

Non hai bisogno di sapere che è diagonale: se consideri la forma canonica di Jordan della matrice, allora noti che trA è la somma degli autovalori e detA ne è il prodotto. Sfruttando poi le relazioni
$trA = -detA$
$-detA + lambda_1 + lambda_2 = trA$
$-detA*lambda_1*lambda_2 = detA$

trovi $lambda_1$ e $lambda_2$