Autovalori
Ciao ragazzi, buona domenica, ho un problemino o meglio un pò di confusione sugli autovalori, in particolare una volta che risolvo il polinomio caratterestico trovando le radici, quand'è che queste sono autovalori? Solo quando sono definite in campo complesso?
Grazie
Grazie
Risposte
Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, sia che siano reali o meno.
Puoi calcolare gli autovalori in due modi
quello piu formale e
data la tua matrice di partenza A
le soluzioni di det(A - lamda I)=0 sono i tuoi autovalori.Risolvi in lamda.
oppure equivalentemente puoi fare
det (SI - A)=0
le soluzioni, in S, sono i tuoi autovalori.
lol che strano la risposta di tipper non lho vista fino al momento in cui non ho inviato la mia risposta.
quello piu formale e
data la tua matrice di partenza A
le soluzioni di det(A - lamda I)=0 sono i tuoi autovalori.Risolvi in lamda.
oppure equivalentemente puoi fare
det (SI - A)=0
le soluzioni, in S, sono i tuoi autovalori.
lol che strano la risposta di tipper non lho vista fino al momento in cui non ho inviato la mia risposta.
"Thingol":
Puoi calcolare gli autovalori in due modi.
Questi due metodi mi sembrano lo stesso...
ehm si in sostanza direi di si..
pero diciamo che se deve fare altre operazioni in cui gli serve la matrice SI-A cosi se la ritrova gia pronta...
pero diciamo che se deve fare altre operazioni in cui gli serve la matrice SI-A cosi se la ritrova gia pronta...
"Tipper":
Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, sia che siano reali o meno.
Non è vero: se K è un campo algebrico ed $A$ un endomorfismo di un K-spazio vettoriale X, lo spettro puntuale $\sigma_p(A)$ di A, cioè l'insieme dei suoi autovalori, coincide con gli scalari $\lambda \in K$ per cui $\lambdaI - A$ non è iniettivo in quanto operatore lineare di X in sé (dove $I: X \to X$ è l'identità). Se $X$ è finito, $\sigma_p(A)$ coincide con gli zeri in K dell'equazione $p(\lambda) = 0$, dove $p(-)$ è il polinomio caratteristico associato ad una qualsiasi rappresentazione di A in forma di matrice. Perciò, a meno che K non sia chiuso algebricamente, blah blah blah...
Ah, ho capito anche perché nel secondo caso ci metti $s$, e non $\lambda$, perché ricorre anche nel calcolo della funzione di trasferimento, dove $A$ è la matrice di stato (mi sembra si chiami così)...
"DavidHilbert":
[quote="Tipper"]Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, sia che siano reali o meno.
Non è vero: se K è un campo algebrico ed $A$ un endomorfismo di un K-spazio vettoriale X, lo spettro puntuale $\sigma_p(A)$ di A, cioè l'insieme dei suoi autovalori, coincide con gli scalari $\lambda \in K$ per cui $\lambdaI - A$ non è iniettivo in quanto operatore lineare di X in sé (dove $I: X \to X$ è l'identità). Se $X$ è finito, $\sigma_p(A)$ coincide con gli zeri in K dell'equazione $p(\lambda) = 0$, dove $p(-)$ è il polinomio caratteristico associato ad una qualsiasi rappresentazione di A in forma di matrice. Perciò, a meno che K non sia chiuso algebricamente, blah blah blah...[/quote]
Non c'ho capito una mazza...
Voglio dire, che significa chiuso algebricamente?
Ah, forse ho capito, l'affermazione:
è vera se i vari spazi vettoriali sono definiti su $\mathbb{C}$, se invece sono definiti su $\mathbb{R}$, gli autovalori sono le radici reali del polinomio caretteristico, è così?
"Tipper":
Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, sia che siano reali o meno.
è vera se i vari spazi vettoriali sono definiti su $\mathbb{C}$, se invece sono definiti su $\mathbb{R}$, gli autovalori sono le radici reali del polinomio caretteristico, è così?
"Tipper":
Non c'ho capito una mazza...
Che ogni polinomio non costante $p \in K[z]$ si splitta nel prodotto di polinomi lineari in K[z].
"Tipper":
Ah, forse ho capito, l'affermazione:
[quote="Tipper"]Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, sia che siano reali o meno.
è vera se i vari spazi vettoriali sono definiti su $\mathbb{C}$, se invece sono definiti su $\mathbb{R}$, gli autovalori sono le radici reali del polinomio caretteristico, è così?[/quote]
Sì, è così.
"DavidHilbert":
[quote="Tipper"]
Non c'ho capito una mazza...
Che ogni polinomio non costante $p \in K[z]$ si splitta nel prodotto di polinomi lineari in K[z].[/quote]
Detto terra terra (dizione adatta per uno come me), una campo $K$ è algebricamente chiuso se ogni polinomio, di qualsiasi grado maggiore o uguale a uno, a coefficienti in $K$, ha tutte le radici appartenenti a $K$, è così?
"Tipper":
Detto terra terra (dizione adatta per uno come me), una campo $K$ è algebricamente chiuso se ogni polinomio, di qualsiasi grado maggiore o uguale a uno, a coefficienti in $K$, ha tutte le soluzioni appartenenti a $K$, è così?
Alla fin fine, sì.
Allora ragazzi, provo a fare un riepilogo di ciò che mi sembra di avere capito leggendo le vostre risposte e mie appunti.
Se lavoriamo sul campo $\mathbb{R}$ gli autovalori sono tutte le radici reali del polinomio caratteristico e di conseguenza la matrice associata è diagonalizzabile.
Tutti gli eventuali valori che mi fanno ottenere radici complesse mi fanno dire che non ho autovalori (vero???) e che la matrice associata non è nè triagolabile nè tanto meno diagonalizzabile.
Giusto? specialmente il punto tra parentesi?
Grazie
Se lavoriamo sul campo $\mathbb{R}$ gli autovalori sono tutte le radici reali del polinomio caratteristico e di conseguenza la matrice associata è diagonalizzabile.
Tutti gli eventuali valori che mi fanno ottenere radici complesse mi fanno dire che non ho autovalori (vero???) e che la matrice associata non è nè triagolabile nè tanto meno diagonalizzabile.
Giusto? specialmente il punto tra parentesi?
Grazie
"beppe86":
Se lavoriamo sul campo $\mathbb{R}$ gli autovalori sono tutte le radici reali del polinomio caratteristico e di conseguenza la matrice associata è diagonalizzabile.
È diagonalizzabile se ogni autovalore è regolare, cioè se per ogni autovalore molteplicità algebrica e geometrica coincidono. Se invece trovi almeno un autovalore complesso, questo ti basta per dire che la matrice non è diagonalizzabile in $\mathbb{R}$.
"beppe86":
Tutti gli eventuali valori che mi fanno ottenere radici complesse mi fanno dire che non ho autovalori (vero???) e che la matrice associata non è nè triagolabile nè tanto meno diagonalizzabile.
No, non vuol dire che non hai autovalori. Ad esempio, se lavori in $\mathbb{R}$, e hai un polinomio caratteristico del tipo $\lambda (\lambda^2+1)$, hai che $\lambda=0$ è un autovalore.
"Tipper":
[quote="beppe86"]Tutti gli eventuali valori che mi fanno ottenere radici complesse mi fanno dire che non ho autovalori (vero???) e che la matrice associata non è nè triagolabile nè tanto meno diagonalizzabile.
No, non vuol dire che non hai autovalori. Ad esempio, se lavori in $\mathbb{R}$, e hai un polinomio caratteristico del tipo $\lambda (\lambda^2+1)$, hai che $\lambda=0$ è un autovalore.[/quote]
Ok perfetto... Grazie
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