Autovalori

[Lodosage]

Data una matrice mi si dice di trovare gli autovalori, quindi imposto la matrice $[ ( (-3-x) , 1 , -1 ),( -7 , (5-x) , -1 ),( -6 , 6 , (-2-x) ) ] $ e ne calcolo il determinante, ma sviluppandolo attraverso la prima colonna arrivo a $(-3-x)(x-5)(x+2)+(4-x)=0$ e non so più come procedere, nella soluzione del libro il determinante viene sviluppato secondo la prima riga, io mi chiedo se ho sbagliato qualcosa io o se effettivamente a volte sia necessario beccare la riga o colonna giusta per poter portare a termine l'esercizio...

[feddy]

Prova a sviiluppare quello che ti è venuto fuori, magari riesci a scrivere il polinomio caratterstico come prodotti e poi sei apposto.

Comunque la prima riga è migliore perché ci sono due $1$, che per fare i conti sono "meglio" rispetto ai termini che hai nella prima colonna

[Lodosage]

sinceramente non so proprio cosa potrei scomporre o ricomporre algebricamente, se poi ad esempio provo a prendere gli autovalori della soluzione e li metto nel polinomio che ho ricavato io questo non risulta zero e non mi sembra di aver fatto errori nel calcolarlo...

[feddy]

Gli autovalori sono le soluzioni del polinomio caratterstico. Di lì non ci si scappa. Prova a postare i conti a questo punto

[vit46]

ciao ho provato a risolvere il tuo quesito non ho utilizzato la regola di Laplace perché essendo una matrice tre per tre ho preferito utilizzare la regola di sarrus ovviamente questa regola la potrai utilizzare solamente per calcolare le matrici quadrate 3x3 ,mentre per le matrici di ordine superiore al terzo potrai utilizzare Laplace, quando effettui la regola di Laplace devi tener presente di scegliere la riga o la colonna con più zeri in modo da ridurre drasticamente il numero dei calcoli, una volta scelta la riga dovrai soltanto calcolare il coefficiente algebrico che moltiplica il determinante ottenuto, il coefficiente sarà positivo se la sua posizione all'interno di una matrice risulta essere positiva ad esempio il primo valore di una matrice si trova in posizione (1,1) sommando 1 + 1 = 2 ottieni il numero pari, quindi (-1) = 1 , 1 moltiplica il determinante della matrice,ritornando all'esercizio

-3-k 1 - 1 -3-k 1 -1
-7 5-k -1 -7 5-k -7
-6 6 -2-k -6 6 -6

moltiplicando le diagonali otteniamo il polinomio caratteristico

(-3-k)*(5-k)*(-2-k) + (1)*(-1)*(-6) + (-1)*(-7)*(6) - (-1)*(5-k)*(-6) - (1)*(-7)*(-2-k) - (-3-k)*(-1)*(6)

moltiplicando i valori otteniamo il polinomio che riduciamo con la regola di Ruffini adatta per i polinomi di grado superiore al secondo,

trovi la base della regola di Ruffini cioè quella base che annulla il polinomio (la puoi trovare all'interno dei divisori del termine noto) base diviso coefficiente direttivo che si trova vicino all'incognita di grado maggiore ed inseguito inserisci nella tabella il polinomio ottenuto precedentemente.

io ho ottenuto come polinomio -k^3+12k+16

dopo averlo ridotto otterrai un'equazione di secondo grado che potrai risolvere facilmente con le normali tecniche ottenendo i tre autovalori

i mie risultati sono (k-2)(k-2)(k-4)

[Lodosage]

grazie per l'aiuto vit, ma ho sbagliato io dei calcoli, ho provato a ricalcolare il polinomio caratteristico con calma (sempre sviluppando rispetto alla prima colonna) e sono riuscito ad arrivare alla forma $(x-4)(-x^2-4x-4)$ e dunque gli autovalori sono effettivamente 4 e -2