Autospazio di un autovalore in matrice diagonalizzabile
ciao a tutti..sto preparando l'esame di geometria e algebra..in una domanda di un compito trovo di diagonalizzare una semplice matrice..allora trovo il $\Delta_A(lambda)$ , gli autovalori e comincio con gli autospazi..per il primo nessun problema..per il secondo sorge il dubbio..dopo lo svolgimento del sistema, mi esce solamente la soluzione banale, quindi l'autospazio ha dimensione 0 e non posso andare avanti a diagonalizzare la matrice, perchè poi la base formata dagli autovettori della matrice mi risulta costituita da 2 soli vettori al posto di 3..dove ho sbagliato??
questa è la mia matrice:
$((3,-1,2),(0,-1,alpha),(0,0,3))$
mi risulta diagonalizzabile per $\alpha$=8;
gli autovalori $\lambda_1$ = -1 e $\lambda_2$ = 3;
adesso trovo gli autospazi..per $\lambda_2$ mi risulta l'autospazio di base (1,0,0),(0,2,1) e dovrebbe essere giusto..
il problema è con l'autospazio di $\lambda_1$ che mi risulta di base (0,0,0);
come dovrei fare adesso?
grazie per l'attenzione
questa è la mia matrice:
$((3,-1,2),(0,-1,alpha),(0,0,3))$
mi risulta diagonalizzabile per $\alpha$=8;
gli autovalori $\lambda_1$ = -1 e $\lambda_2$ = 3;
adesso trovo gli autospazi..per $\lambda_2$ mi risulta l'autospazio di base (1,0,0),(0,2,1) e dovrebbe essere giusto..
il problema è con l'autospazio di $\lambda_1$ che mi risulta di base (0,0,0);
come dovrei fare adesso?
grazie per l'attenzione
Risposte
Non è possibile, avrai sbagliato qualcosa. Infatti se un autovalore ha molteplicità algebrica $1$ (come nel caso di $-1$ qui), la sua molteplicità geometrica (dimensione del suo autospazio) è sicuramente $1$.
Perché non posti i tuoi calcoli così vediamo?
Paola
Perché non posti i tuoi calcoli così vediamo?
Paola
allora...$\Delta_A(lambda)$ = $\(lambda - 3)^2 *(lambda+1)=0$ quindi gli autovalori sono $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=-1$
$\V_3$= {$\x,y,z : {(y-2z=0),(4y-8z=0):}$ $rarr$ $\y=2z$ = ($\x,2z,z$)=$\{(1,0,0),(0,2,1)}$ è una base di $\V_3$
$\V_-1$= {$\x,y,z : {(-4x+y-2z=0),(-8y=0),(-4z=0):}$ $rarr$ $\{(x=0),(y=0),(z=0):}$
ecco..dove ho sbagliato?
$\V_3$= {$\x,y,z : {(y-2z=0),(4y-8z=0):}$ $rarr$ $\y=2z$ = ($\x,2z,z$)=$\{(1,0,0),(0,2,1)}$ è una base di $\V_3$
$\V_-1$= {$\x,y,z : {(-4x+y-2z=0),(-8y=0),(-4z=0):}$ $rarr$ $\{(x=0),(y=0),(z=0):}$
ecco..dove ho sbagliato?
La seconda riga del sistema è $-8z= 0$, ecco l'errore.
Paola
Paola
grazie mille..un'altra domandina vorrei chiedere..per caso c'è un modo per calcolare la matrice inversa conoscendo la matrice diagonale? mi spiego meglio..dopo che diagonalizzo la matrice scritta sopra, il prof mi chiede di trovare la prima riga della matrice inversa..c'è un modo per calcolarla velocemente o devo andarmi a trovare direttamente la matrice inversa?
Se la matrice è diagonale, basta invertire gli elementi sulla diagonale ($a_{ii}^{-1}, \forall i$). Devi trovare l'inversa della diagonalizzata o dell'originale?
Paola
Paola
dell'originale..
Sinceramente non conosco barbatrucchi a riguardo, io mi calcolerei l'inversa.
Paola
Paola
ok..grazie mille, gentilissima come sempre 
buona giornata
buona giornata
Buongiorno a tutti, sono nuovo di questo forum e ho trovato questa discussione interessante per un problema che mi accomuna: anche a me, nel calcolo degli autospazi dagli autovalori inseriti nella matrice mi risulta un autovettore nullo, precisamente nel calcolo del primo autovalore.. Mi dareste una mano?
$((1,0,-2),(0,2,0),(-2,1,1))$ ---> $((1-\lambda,0,-2),(0,2-\lambda,0),(-2,1,1-\lambda))$ ---> $(1-\lambda)^2$$(2-\lambda)$=0
gli autovalori calcolati sono $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=2$;
una volta che cerco l'autovettore di $\lambda_1$, mi risulta (0,0,0);
La matrice con $\lambda_1=1$ diventa: $((0,0,-2),(0,1,0),(-2,1,0))$, e il rango mi risulta 3, possibile?
Procedo con il sistema:
$\V_1$= {$\x_1,x_2,x_3 : {(-2x_3=0),(x_2=0),(-2x_1+x_2=0):}$ $rarr$ $\{(x_1=0),(x_2=0),(x_3=0):}$
Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo
$((1,0,-2),(0,2,0),(-2,1,1))$ ---> $((1-\lambda,0,-2),(0,2-\lambda,0),(-2,1,1-\lambda))$ ---> $(1-\lambda)^2$$(2-\lambda)$=0
gli autovalori calcolati sono $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=2$;
una volta che cerco l'autovettore di $\lambda_1$, mi risulta (0,0,0);
La matrice con $\lambda_1=1$ diventa: $((0,0,-2),(0,1,0),(-2,1,0))$, e il rango mi risulta 3, possibile?
Procedo con il sistema:
$\V_1$= {$\x_1,x_2,x_3 : {(-2x_3=0),(x_2=0),(-2x_1+x_2=0):}$ $rarr$ $\{(x_1=0),(x_2=0),(x_3=0):}$
Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo
Il polinomio caratteristico non è quello. Rifai i conti
oddio che sbadato, è vero! mi era proprio passato per la testa grazie xD
quindi c'è solo un autovalore, $\lambda_1=2$? (da $(1-\lambda)^2(2-\lambda)-4(2-\lambda)=0$)
quindi c'è solo un autovalore, $\lambda_1=2$? (da $(1-\lambda)^2(2-\lambda)-4(2-\lambda)=0$)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo