Autospazio applicazione lineare
Ciao a tutti! 
Stavo svolgendo un esercizio riguardo una applicazione lineare.
-Sia f l'applicazione lineare rispetto alla base canonica della matrice
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $
Non sapendo bene come scriverne l'immagine, ho scritto \(\displaystyle Imf= span((2,-1,1),(-1,2,1)) \)
Dopodichè, dovevo trovare l'autospazio relativo all'autovalore più grande.
Il polinomio caratterisco mi risulta \(\displaystyle -\lambda(\lambda-3)^2 \) da cui ricavo gli autovalori \(\displaystyle \lambda=0 \) e \(\displaystyle \lambda=3 \) (con molteplicità algebrica 2).
Da qui l'autovalore più grande risulta \(\displaystyle \lambda=3 \) e per questo ho sostituito tale valore nella matrice e ottengo la matrice
$ ( ( -1 , -1 , 1 ),( -1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , -1 ) ) $
Da qui quindi dovrei risolvere il sistema omogeneo $ { ( -x-y+z=0 ),( -x-y+z=0 ),( x+y-z=0 ):} $
Da questo ricavo solamente $ x+y-z=0 $ e da qui non so come scrivere le soluzioni e il relativo autospazio. Spero di essermi spiegato al meglio
Stavo svolgendo un esercizio riguardo una applicazione lineare.-Sia f l'applicazione lineare rispetto alla base canonica della matrice
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $
Non sapendo bene come scriverne l'immagine, ho scritto \(\displaystyle Imf= span((2,-1,1),(-1,2,1)) \)
Dopodichè, dovevo trovare l'autospazio relativo all'autovalore più grande.
Il polinomio caratterisco mi risulta \(\displaystyle -\lambda(\lambda-3)^2 \) da cui ricavo gli autovalori \(\displaystyle \lambda=0 \) e \(\displaystyle \lambda=3 \) (con molteplicità algebrica 2).
Da qui l'autovalore più grande risulta \(\displaystyle \lambda=3 \) e per questo ho sostituito tale valore nella matrice e ottengo la matrice
$ ( ( -1 , -1 , 1 ),( -1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , -1 ) ) $
Da qui quindi dovrei risolvere il sistema omogeneo $ { ( -x-y+z=0 ),( -x-y+z=0 ),( x+y-z=0 ):} $
Da questo ricavo solamente $ x+y-z=0 $ e da qui non so come scrivere le soluzioni e il relativo autospazio. Spero di essermi spiegato al meglio
Risposte
Hai fatto tutto bene, ti manca soltanto la conclusione:
Ti basta esprimere un parametro in funzione dei due rimanenti. Ad esempio spostando la \(z\) a destra dell'uguale, ottieni:
\(z = x+y\)
Sono allora soluzione tutti quei vettori della forma \((x, y, x+y)\), ottenuti sostituendo alla \(z\) esattamente ciò a cui equivale in termini dei due rimanenti parametri. Adesso separa nella somma di due vettori: \(x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)\). L'autospazio che cerchi è dato dalle combinazioni lineari di \(\{(1,0,1),(0,1,1)\}\)
Ti basta esprimere un parametro in funzione dei due rimanenti. Ad esempio spostando la \(z\) a destra dell'uguale, ottieni:
\(z = x+y\)
Sono allora soluzione tutti quei vettori della forma \((x, y, x+y)\), ottenuti sostituendo alla \(z\) esattamente ciò a cui equivale in termini dei due rimanenti parametri. Adesso separa nella somma di due vettori: \(x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)\). L'autospazio che cerchi è dato dalle combinazioni lineari di \(\{(1,0,1),(0,1,1)\}\)
Perfetto allora Ho scritto l'autovettore come $ V_((3))= { x(1,0,1)+y(0,1,1)|x,yin \mathbb{R}} $
da cui poi $ dim V_((3))= 2 $ e $ Base\ di\ V_((3))= (1,0,1),(0,1,1) $
Ho scritto l'autovettore come $ V_((3))= { x(1,0,1)+y(0,1,1)|x,yin \mathbb{R}} $ da cui poi $ dim V_((3))= 2 $ e $ Base\ di\ V_((3))= (1,0,1),(0,1,1) $
Se vuoi verificare la correttezza del risultato ottenuto puoi prendere una generica combinazione lineare degli elementi della base dell'autospazio \(\lambda(1,0,1)+\mu(0,1,1) = (\lambda, \mu, \lambda+\mu)\) e calcolane l'immagine mediante l'applicazione, moltiplicando la matrice associata per \((\lambda, \mu, \lambda+\mu)^{t}\). Il risultato, è questo:
\((3\lambda, 3\mu, 3(\lambda+\mu)) = 3(\lambda, \mu, \lambda+\mu)\), come immagini!
\((3\lambda, 3\mu, 3(\lambda+\mu)) = 3(\lambda, \mu, \lambda+\mu)\), come immagini!
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