Autospazi ortogonali $=>f$ autoaggiunto
Buonasera,
scusate il disturbo e scusate la domanda (temo sia molto sciocca). Sarà il caldo che mi ha dato alla testa... non sono sicuro di questo fatto.
Teorema. (non so se è vero, è una domanda che mi sono auto-posto
)
Sia $f:V to V$ un endomorfismo semplice di uno spazio vettoriale (euclideo) $V$ di dimensione finita. Siano $lambda_i$ i suoi autovalori. Se $V_(lambda_1) _|_ V_(lambda_2) _|_ ... _|_V_(lambda_k)$ [size=75](intendendo con questa scrittura che gli autospazi sono ortogonali a due a due)[/size], allora $f$ è autoaggiunto.
Dimostrazione. La tesi è $f(x) * y = x * f(y)$ per ogni $x,y in V$. (con $*$ indico il prodotto scalare standard).
Il fatto che $f$ sia semplice mi permette di dire che la somma (diretta) degli autospazi è tutto $V$: in other words, $V_(lambda_1) oplus V_(lambda_2) oplus ... oplus V_(lambda_k) = V$.
Preso dunque un $x in V$ lo decompongo in maniera unica nella somma di $k$ autovettori, uno relativo ad ogni autospazio: $x=x_1+x_2+...+x_k$, $x_i in V_(lambda_i)$. Allo stesso modo considero un generico $y in V$ e lo decompongo $y=y_1+...+y_k$, con $y_i in V_(lambda_i)$.
Adesso $f(x)*y = f(x_1+x_2+...+x_k)*y = (lambda_1x_1+lambda_2x_2+...+lambda_kx_k)*(y_1 + y_2 + ... + y_k)$ perchè gli $x_i$ sono autovettori (ciascuno relativo all'autovalore $lambda_i$). Usando l'ipotesi che gli autospazi siano ortogonali a due a due, di questo prodotto restano solo i termini con uguale pedice: cioè $f(x)* y = lambda_1x_1y_1 + ... + lambda_kx_ky_k = sum_(i=0)^k lambda_ix_iy_i$.
Un ragionamento del tutto analogo mi porta a concludere che anche $x* f(y) = sum_(i=0)^k lambda_ix_iy_i$, per cui, dall'arbitrarietà di $x$ e $y$ posso concludere.
Ha un minimo di senso ciò che ho scritto? Perdonate eventuali scemenze.
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
P.S. Preciso che l'inverso di quanto detto è vero (è un immediato corollario del teorema spettrale). E' da lì che mi è venuta l'idea...
Grazie in anticipo.
scusate il disturbo e scusate la domanda (temo sia molto sciocca). Sarà il caldo che mi ha dato alla testa... non sono sicuro di questo fatto.
Teorema. (non so se è vero, è una domanda che mi sono auto-posto
)Sia $f:V to V$ un endomorfismo semplice di uno spazio vettoriale (euclideo) $V$ di dimensione finita. Siano $lambda_i$ i suoi autovalori. Se $V_(lambda_1) _|_ V_(lambda_2) _|_ ... _|_V_(lambda_k)$ [size=75](intendendo con questa scrittura che gli autospazi sono ortogonali a due a due)[/size], allora $f$ è autoaggiunto.
Dimostrazione. La tesi è $f(x) * y = x * f(y)$ per ogni $x,y in V$. (con $*$ indico il prodotto scalare standard).
Il fatto che $f$ sia semplice mi permette di dire che la somma (diretta) degli autospazi è tutto $V$: in other words, $V_(lambda_1) oplus V_(lambda_2) oplus ... oplus V_(lambda_k) = V$.
Preso dunque un $x in V$ lo decompongo in maniera unica nella somma di $k$ autovettori, uno relativo ad ogni autospazio: $x=x_1+x_2+...+x_k$, $x_i in V_(lambda_i)$. Allo stesso modo considero un generico $y in V$ e lo decompongo $y=y_1+...+y_k$, con $y_i in V_(lambda_i)$.
Adesso $f(x)*y = f(x_1+x_2+...+x_k)*y = (lambda_1x_1+lambda_2x_2+...+lambda_kx_k)*(y_1 + y_2 + ... + y_k)$ perchè gli $x_i$ sono autovettori (ciascuno relativo all'autovalore $lambda_i$). Usando l'ipotesi che gli autospazi siano ortogonali a due a due, di questo prodotto restano solo i termini con uguale pedice: cioè $f(x)* y = lambda_1x_1y_1 + ... + lambda_kx_ky_k = sum_(i=0)^k lambda_ix_iy_i$.
Un ragionamento del tutto analogo mi porta a concludere che anche $x* f(y) = sum_(i=0)^k lambda_ix_iy_i$, per cui, dall'arbitrarietà di $x$ e $y$ posso concludere.
Ha un minimo di senso ciò che ho scritto? Perdonate eventuali scemenze.
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
P.S. Preciso che l'inverso di quanto detto è vero (è un immediato corollario del teorema spettrale). E' da lì che mi è venuta l'idea...
Grazie in anticipo.
Risposte
Mi pare giusto, se per "Endomorfismo semplice" intendi "Endomorfismo diagonalizzabile". Bel lavoro. ([size=75]Solo una cosa non mi piace tanto, ed è la notazione $V_{lambda_1}\bot V_{lambda_2} \bot ...$. Meglio scrivere a parole: "gli autospazi sono a due a due ortogonali", oppure $V_{lambda_i}\botV_{lambda_j},\ i\ne j$.[/size]).
"dissonance":
Mi pare giusto, se per "Endomorfismo semplice" intendi "Endomorfismo diagonalizzabile".
Anzitutto GRAZIE mille per la risposta. Comunque, sì, certo, intendevo diagonalizzabile.
Bel lavoro.
Grazie capo!
([size=75]Solo una cosa non mi piace tanto, ed è la notazione $V_{lambda_1}\bot V_{lambda_2} \bot ...$. Meglio scrivere a parole: "gli autospazi sono a due a due ortogonali", oppure $V_{lambda_i}\botV_{lambda_j},\ i\ne j$.[/size]).
Sì, effettivamente non è una notazione molto felice la mia. Terrò a mente la tua per il futuro.
Grazie mille.
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