Autospazi matrice
Ragazzi, ho svolto un esercizio nel quale è richiesta la determinazione degli autospazi della seguente matrice:
M= $((0,0,1),(2,-1,1),(-1,0,1))$
Ma ho un problema: calcolando gli autovalori, me ne viene uno solo, ossia -1 (perché poi mi viene il delta negativo).
Quando cerco di calcolare gli autospazi, impostando il sistema, praticamente l'incognita y finisce per annullarsi, e quindi non riesco ad andare avanti!
Potreste aiutarmi con la risoluzione?
Come sempre, vi ringrazio immensamente!
M= $((0,0,1),(2,-1,1),(-1,0,1))$
Ma ho un problema: calcolando gli autovalori, me ne viene uno solo, ossia -1 (perché poi mi viene il delta negativo).
Quando cerco di calcolare gli autospazi, impostando il sistema, praticamente l'incognita y finisce per annullarsi, e quindi non riesco ad andare avanti!
Potreste aiutarmi con la risoluzione?
Come sempre, vi ringrazio immensamente!
Risposte
"gentah":
Ragazzi, ho svolto un esercizio nel quale è richiesta la determinazione degli autospazi della seguente matrice:
M= $((0,0,1),(2,-1,1),(-1,0,1))$
Ma ho un problema: calcolando gli autovalori, me ne viene uno solo, ossia -1 (perché poi mi viene il delta negativo).
Quando cerco di calcolare gli autospazi, impostando il sistema, praticamente l'incognita y finisce per annullarsi, e quindi non riesco ad andare avanti!
Potreste aiutarmi con la risoluzione?
Come sempre, vi ringrazio immensamente!
Che $\lambda=-1$ sia autovalore è ovvio: la seconda colonna è opposta a $e_2$.
A volte gli autovalori e gli autovettori si calcolano a occhio!
troviamo l'autospazio corrispondente all'autovalore -1.
quindi quest'autospazio sarà composto dai vettori x che verificano $Mx=(-1)x$
quindi viene un sistema di equazioni:
$z=-x$
$x-y+z=-y$
$-x+z=-z$
da cui $ x=z=0$ e y rimane come parametro, quindi l'autospazio consiste in $E_-1 = {(0,t,0), t in RR}$
quindi quest'autospazio sarà composto dai vettori x che verificano $Mx=(-1)x$
quindi viene un sistema di equazioni:
$z=-x$
$x-y+z=-y$
$-x+z=-z$
da cui $ x=z=0$ e y rimane come parametro, quindi l'autospazio consiste in $E_-1 = {(0,t,0), t in RR}$
Visto che il polinomio caratteristico della tua matrice ha come unica radice reale $\lambda=-1$,
per determinare una base di Jordan basta prendere $((0),(1),(0))$ e poi è sufficiente
considerare gli autovettori complessi relativi alle altre due radici complesse coniugate.
per determinare una base di Jordan basta prendere $((0),(1),(0))$ e poi è sufficiente
considerare gli autovettori complessi relativi alle altre due radici complesse coniugate.
Se vuoi la base di Jordan reale allora basta che tu prenda in considerazione la matrice
$P = ( (0, 1/2, sqrt(3)/6 ) , (1, 5/6, sqrt(3)/6 ) , ( 0, 0, sqrt(3)/3) )$
se fai il prodotto
$P^(-1) \cdot A \cdot P$ ottieni
$J = ((-1,0,0),(0,1/2,sqrt(3)/2),(0,-sqrt(3)/2,1/2))$.
$P = ( (0, 1/2, sqrt(3)/6 ) , (1, 5/6, sqrt(3)/6 ) , ( 0, 0, sqrt(3)/3) )$
se fai il prodotto
$P^(-1) \cdot A \cdot P$ ottieni
$J = ((-1,0,0),(0,1/2,sqrt(3)/2),(0,-sqrt(3)/2,1/2))$.
Nei messaggi precedenti non l'ho scritto:
il polinomio caratteristico di $A$ è
$p(\lambda) = \lambda^3 + 1$
le soluzioni dell'equazione $p(\lambda)=0$ sono le radici terze di $-1$.
il polinomio caratteristico di $A$ è
$p(\lambda) = \lambda^3 + 1$
le soluzioni dell'equazione $p(\lambda)=0$ sono le radici terze di $-1$.
Grazie mille a tutti per l'aiuto!!
Due cose non mi sono ancora molto chiare:
1)sulla base di cosa devo considerare un'incognita come "parametro"? Cioè, come faccio a vedere quale/i di esse devo considerare appunto come parametro/i?
2)nel sistema, alla seconda equazione, abbiamo -y=-y: perché, come si dovrebbe fare normalmente, non le abbiamo eliminate?
Due cose non mi sono ancora molto chiare:
1)sulla base di cosa devo considerare un'incognita come "parametro"? Cioè, come faccio a vedere quale/i di esse devo considerare appunto come parametro/i?
2)nel sistema, alla seconda equazione, abbiamo -y=-y: perché, come si dovrebbe fare normalmente, non le abbiamo eliminate?
"Jordano":
troviamo l'autospazio corrispondente all'autovalore -1.
quindi quest'autospazio sarà composto dai vettori x che verificano $Mx=(-1)x$
quindi viene un sistema di equazioni:
$z=-x$
$x-y+z=-y$
$-x+z=-z$
da cui $ x=z=0$ e y rimane come parametro, quindi l'autospazio consiste in $E_-1 = {(0,t,0), t in RR}$
scusa Jordano, ma quando hai la $k$-esima colonna multipla di $e_k$ (come in questo esercizio)
è completamente inutile seguire il tuo procedimento.
Non che sia sbagliato, per carità, ma non complichiamoci la vita!
L'autovalore è l'elemento $a_(k,k)$ e l'autovettore è $e_k$.
l'incognita y in questione "va via". non vuol dire che quindi sia determinata (tipo uguale a 0......), ma vuol dire invece che può variare su tutti i valori di R nel nostro caso perchè se lasci scritto -y=-y nel sistema ti accorgerai che ogni valore per y soddisfa -y=-y quindi tutti i valori per y vanno bene, non un solo valore come x e z che valgono 0.
"franced":
[quote="Jordano"]troviamo l'autospazio corrispondente all'autovalore -1.
quindi quest'autospazio sarà composto dai vettori x che verificano $Mx=(-1)x$
quindi viene un sistema di equazioni:
$z=-x$
$x-y+z=-y$
$-x+z=-z$
da cui $ x=z=0$ e y rimane come parametro, quindi l'autospazio consiste in $E_-1 = {(0,t,0), t in RR}$
scusa Jordano, ma quando hai la $k$-esima colonna multipla di $e_k$ (come in questo esercizio)
è completamente inutile seguire il tuo procedimento.
Non che sia sbagliato, per carità, ma non complichiamoci la vita!
L'autovalore è l'elemento $a_(k,k)$ e l'autovettore è $e_k$.[/quote]
farò tesoro di questa soluzione più corta e più bella, che fanno sempre piacere queste soluzioni.
Però visto le incertezze di gentah penso sia meglio che si concentri sul metodo di risoluzione generale prima che gli venga data la soluzione per vie più brevi, anche se più eleganti.
scusate il doppio post
"Jordano":
farò tesoro di questa soluzione più corta e più bella, che fanno sempre piacere queste soluzioni.
Però visto le incertezze di gentah penso sia meglio che si concentri sul metodo di risoluzione generale prima che gli venga data la soluzione per vie più brevi, anche se più eleganti.
scusate il doppio post
No, la mia non è una soluzione breve ed elegante.
Ho solo sfruttato la definizione di autovalore e di autovettore.
Purtroppo gli studenti si perdono nei tecnicismi e nei calcoli,
perdendo di vista il quadro complessivo.
Si può guardare anche la trasposta della matrice.
Se una matrice $A$ è tale che la sua trasposta $A^(T)$ ha la $k$-esima colonna
multipla di $e_k$, allora l'elemento di posto $a_(k,k)$ è autovalore
della matrice.
Senza guardare la matrice trasposta è sufficiente analizzare le righe di $A$.
Se una matrice $A$ è tale che la sua trasposta $A^(T)$ ha la $k$-esima colonna
multipla di $e_k$, allora l'elemento di posto $a_(k,k)$ è autovalore
della matrice.
Senza guardare la matrice trasposta è sufficiente analizzare le righe di $A$.
"franced":
Si può guardare anche la trasposta della matrice.
Se una matrice $A$ è tale che la sua trasposta $A^(T)$ ha la $k$-esima colonna
multipla di $e_k$, allora l'elemento di posto $a_(k,k)$ è autovalore
della matrice.
Senza guardare la matrice trasposta è sufficiente analizzare le righe di $A$.
Faccio un esempio:
si calcolino gli autovalori della matrice
$A = ((3,0,0),(0,1,2),(2,2,4))$
tanto per iniziare la terza colonna è il doppio della seconda:
la matrice $A$ non è invertibile e quindi ha come autovalore $\lambda_1=0$.
Poi guardiamo la prima riga (è la prima colonna di $A^(T)$):
da quanto detto possiamo dire che $\lambda_2=3$ è atovalore di $A$.
Ma attenzione: $e_1$ è autovettore solo per $A^T$, non per $A$ !!!
Per calcolare l'ultimo autovalore è sufficiente guardare la traccia:
la somma degli elementi sulla diagonale è uguale a $8$.
Allora l'ultimo autovalore $\lambda_3$ deve essere tale che
$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 8$
cioè
$0 + 3 + \lambda_3 = 8$
da cui
$\lambda_3 = 5$.
A volte è possibile calcolare tutti gli autovalori senza fare calcoli.
Odio durare fatica nei calcoli!
Ancora una volta, non trovo le parole per ringraziarvi per l'aiuto e per tutti gli ottimi consigli! Grazie mille,Jordano e Franced!! 
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