Autospazi e autovalori

[luigipius]

Sia data una matrice simmetrica A appartenente a R^(4,4) avente (t - 2)^2*(t - 5)^2 come polinomio caratteristico .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) A potrebbe non essere diagonalizzabile, perch´e possiede autovalori doppi e non si conoscono
le dimensioni dei relativi autospazi;
(b) Non esiste nessuna matrice P appartenente a R^(4,4) tale che det(PA) = 1;
(c) La matrice A possiede due autospazi ciascuno di dimensione 2;
(d) La matrice A non è invertibile.

come faccio a verificare che gli autospazi relativi ai 2 autovalori hanno dim=2 non conoscendo la matrice associata?
la soluzione giusta dovrebbe essere la (c).

[_prime_number]

Non capisco il problema, è la risposta a). Non serve sapere nient'altro.

Paola

PS D'ora in poi usa il sistema obbligatorio per scrivere le formule. Vedi ne Il nostro forum.

[luigipius]

è un quesito del compito di geometria di ingegneria. la risposta giusta è la c. e non capisco il perchè.
ps. la prossima volta leggerò meglio la guida, grazie!

[_prime_number]

La cosa mi sembra piuttosto strana. A quanto so io, l'unica situazione in cui dalla molteplicità algebrica si può dedurre la geometria è quando la prima è uguale ad $1$ (e quindi anche la seconda!).

Forse qualcuno ci illuminerà sulla questione, magari è un caso particolare di $\mathbb{R}^4$.

Paola

[Sk_Anonymous]

Un endomorfismo simmetrico in [tex]\mathbb{R}^n[/tex] è sempre diagonalizzabile.
Per un endomorfismo diagonalizzabile qualsiasi, deve valere che la molteplicità algebrica è uguale alla molteplicità geometrica. La risposta esatta è quindi la c.

[_prime_number]

Ma certo, era banalissimo!! Mi son persa per strada la parola "simmetrica" e via... Mi scuso per la disattenzione con Luigi.

Paola

[luigipius]

giusto, per definizione di endomorfismo diagonalizzabile. grazie mille.