Autosoluzione dipendente da un parametro. Come determinarlo?
Salve,
sto affrontando un problema meccanico a tre gradi di libertà (tre masse collegate da tre molle). In particolar modo mi sto concentrando sul problema agli autovalori associato:
$$\left( -{\omega}^2 \widehat{M} + \widehat{K} \right ) \underline{X} = 0$$
Dove
$$
\underline{X} =
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
\end{bmatrix}
$$
è l'autovettore relativo al secondo (modo di vibrare) autovalore $\omega_2$.
Ho che i termini della matrice (di rigidezza) [tex]\widehat{K}[/tex] dipendono (linearmente) da delle lunghezze.
Conseguentemente al variare di una di queste lunghezze, l'autosoluzione varierà. Derivando, appunto, il tutto rispetto al parametro generico [tex]p[/tex] che all'atto pratico è una lunghezza:
$$\left( -{\omega}^2 \widehat{M} + \widehat{K} \right ) \underline{X}_{/p} - 2\omega \widehat{M}\underline{X}\omega_{/p} + \widehat{K}_{/p}\underline{X} = 0$$
problema lineare in $ \omega_{/p}$ e $\underline{X}_{/p] $ (due incognite). La seconda equazione associata potrebbe essere quella di normalizzazione dell'autovettore:
$$
\underline{X}^T \underline{X} = 1
$$
che derivata:
$$ 2 \underline{X}^T \underline{X}_{/p} = 0$$
contribuisce a creare il problema lineare:
$$
\begin{bmatrix}
\left ( -{\omega}^2 \widehat{M} + \widehat{K} \right ) & - 2\omega \widehat{M}\underline{X} \\
2 \underline{X}^T & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\underline{X}_{/p} \\
\omega_{/p}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
- \widehat{K}_{/p}\underline{X}\\
0
\end{bmatrix}
$$
La cui soluzione mi dà il gradiente dell'autosoluzione (autovettore e autovalore) rispetto al parametro di interesse:
$$
\underline{\nabla} =
\begin{bmatrix}
\underline{X}_{/p} \\
\omega_{/p}
\end{bmatrix}
$$
Si può dunque riscrivere l'autosoluzione a seguito di una perturbazione del parametro:
$$
\begin{bmatrix}
\underline{X} \\
\omega
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\underline{X}_0 \\
\omega_0
\end{bmatrix}
+
\underline{\nabla}
\Delta p
$$
Devo ricavare appunto qual'è tale perturbazione $\Delta p$ affinché il secondo termine dell'autovettore associato al secondo autovalore sia nullo.
Quindi ora annullando $x_2$ ottengo la seconda equazione:
$$
\Delta p = \frac{-x_{0_2}}{\delta_2}
$$
Pensate che sia giusto quello che ho fatto fino ad ora? Perchè iterando questa procedura (ricalcolando autovalore e autovettore col parametro aggiornato $ p = p_0 + \Delta p $ e riscrivendo quindi anche la matrice di rigidezza) dopo alcune iterazioni la soluzione diverge.
PS: Cioè in termini più "ingegneristici" sto cercando di quanto modificare la lunghezza di una trave affinchè la rigidezza associata a tale variazione mi faccia annullare (rendere piccolo) il movimento del secondo corpo (associato al secondo elemento dell' autovettore) a seguito di un forzamento vicino a quello del secondo modo di vibrare (secondo autovalore).
sto affrontando un problema meccanico a tre gradi di libertà (tre masse collegate da tre molle). In particolar modo mi sto concentrando sul problema agli autovalori associato:
$$\left( -{\omega}^2 \widehat{M} + \widehat{K} \right ) \underline{X} = 0$$
Dove
$$
\underline{X} =
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
\end{bmatrix}
$$
è l'autovettore relativo al secondo (modo di vibrare) autovalore $\omega_2$.
Ho che i termini della matrice (di rigidezza) [tex]\widehat{K}[/tex] dipendono (linearmente) da delle lunghezze.
Conseguentemente al variare di una di queste lunghezze, l'autosoluzione varierà. Derivando, appunto, il tutto rispetto al parametro generico [tex]p[/tex] che all'atto pratico è una lunghezza:
$$\left( -{\omega}^2 \widehat{M} + \widehat{K} \right ) \underline{X}_{/p} - 2\omega \widehat{M}\underline{X}\omega_{/p} + \widehat{K}_{/p}\underline{X} = 0$$
problema lineare in $ \omega_{/p}$ e $\underline{X}_{/p] $ (due incognite). La seconda equazione associata potrebbe essere quella di normalizzazione dell'autovettore:
$$
\underline{X}^T \underline{X} = 1
$$
che derivata:
$$ 2 \underline{X}^T \underline{X}_{/p} = 0$$
contribuisce a creare il problema lineare:
$$
\begin{bmatrix}
\left ( -{\omega}^2 \widehat{M} + \widehat{K} \right ) & - 2\omega \widehat{M}\underline{X} \\
2 \underline{X}^T & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\underline{X}_{/p} \\
\omega_{/p}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
- \widehat{K}_{/p}\underline{X}\\
0
\end{bmatrix}
$$
La cui soluzione mi dà il gradiente dell'autosoluzione (autovettore e autovalore) rispetto al parametro di interesse:
$$
\underline{\nabla} =
\begin{bmatrix}
\underline{X}_{/p} \\
\omega_{/p}
\end{bmatrix}
$$
Si può dunque riscrivere l'autosoluzione a seguito di una perturbazione del parametro:
$$
\begin{bmatrix}
\underline{X} \\
\omega
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\underline{X}_0 \\
\omega_0
\end{bmatrix}
+
\underline{\nabla}
\Delta p
$$
Devo ricavare appunto qual'è tale perturbazione $\Delta p$ affinché il secondo termine dell'autovettore associato al secondo autovalore sia nullo.
Quindi ora annullando $x_2$ ottengo la seconda equazione:
$$
\Delta p = \frac{-x_{0_2}}{\delta_2}
$$
Pensate che sia giusto quello che ho fatto fino ad ora? Perchè iterando questa procedura (ricalcolando autovalore e autovettore col parametro aggiornato $ p = p_0 + \Delta p $ e riscrivendo quindi anche la matrice di rigidezza) dopo alcune iterazioni la soluzione diverge.
PS: Cioè in termini più "ingegneristici" sto cercando di quanto modificare la lunghezza di una trave affinchè la rigidezza associata a tale variazione mi faccia annullare (rendere piccolo) il movimento del secondo corpo (associato al secondo elemento dell' autovettore) a seguito di un forzamento vicino a quello del secondo modo di vibrare (secondo autovalore).
Risposte
E quindi? La domanda è?
"ciampax":
E quindi? La domanda è?
Stavo finendo di scrivere. Ora è apposto anche con la domanda =)
Ho letto solo frettolosamente, ma sei certo che il problema che ti sei posto abbia una soluzione? Sai dire qualcosa di più su quelle matrici? Ho l'impressione che sia in questo caso più facile lavorare con le coordinate in modo più diretto..
P.S. Ma cosa stai cercando di modellare/realizzare?
P.S. Ma cosa stai cercando di modellare/realizzare?
"apatriarca":
Ho letto solo frettolosamente, ma sei certo che il problema che ti sei posto abbia una soluzione? Sai dire qualcosa di più su quelle matrici? Ho l'impressione che sia in questo caso più facile lavorare con le coordinate in modo più diretto..
P.S. Ma cosa stai cercando di modellare/realizzare?
Non ne sono assolutamente certo. Anzi. Tutt'altro.
Comunque praticamente ho 3 masse collegate una sotto l'altra da due "aste" di materiale non identificato. La prima massa in basso è collegata a terra ad un supporto vibrante.
Il sistema viene forzato dalla piastra vibrante a differenti frequenze, in particolare alle frequenze relative ai modi di vibrare [che sono 3], e le tre masse oscilleranno in maniera conseguente.
Per determinare le tre frequenze caratteristiche le tre masse sono modellate come fossero collegate da tre molle la cui rigidezza è approssimata tramite considerazioni fatte con la linea elastica (trave di Eulero).
Ora mi è stato richiesto di determinare di quanto variare la lunghezza delle tre (o di una di esse) aste (che inizialmente sono uguali) affinchè il secondo nodo (massa 2) non vibri (o ingegneristicamente vibri con un paio di ordini di grandezza in meno rispetto agli altri).
Ora a tentativi, riducendo la lunghezza della trave che collega la massa 2 alla massa 3 (chiamiamola $L_3)$ di un 20% (da 1.0 -> a 0.8) ottengo quello che desidero: un movimento di due ordini di grandezza inferiore rispetto a quello delle altre due masse.
Devo quindi implementare un algoritmo di ottimizzazione che mi dia il valore ottimale della perturbazione da applicare alle lunghezze delle aste in base ad una tolleranza imposta.
Per imbastire tale operazione ho pensato di partire col modificare solo la parte relativa alla terza asta (che so che se viene accorciata del 20% mi dà ciò che cerco) per verificare la consistenza del mio metodo. Ma per ora, buio totale.
EDIT: Questo per intenderci
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