Atlanti e varietà differenziabili

[pat871]

Sia $RR P^n := RR^(n+1) - {0} // sim$, dove $p sim q$ : $<=>$ $p = lambda q$ per un certo $lambda in RR$.
(si può vedere $RR P^n$ come l'insieme che contiene tutte le rette passanti per $0$, mentre $

in RR P^n$ è la retta che passa tra $p$ e $0$).

Ho da fare il seguente esercizio:
- si dia un atlante per $RR P^n$, cioè, si dimostri che $RR P^n$ è una varietà differenziabile.

Ho pensato di costruire le mie carte e il mio atlante in questo modo:

fissiamo un indice $alpha = 0, ..., n$ e definiamo:
$U_(alpha) := \{

in RR P^n | p_(alpha) ne 0 \}$
$V_(alpha) := \{ p in RR^(n+1) | p_(alpha) ne 0 \}$

Consideriamo la funzione
$phi'_(alpha) : V_(alpha) to RR^n$
definita come
$phi'_(alpha) (p_0, ..., p_n) := 1/p_(alpha) * (p_1, ..., p_(alpha - 1), p_(alpha +1), ..., p_n)$, per $p = (p_0, ..., p_n) in V_(alpha)$.

Sia $pi : V_(alpha) to U_(alpha)$ la proiezione canonica.

Ora possiamo definire le nostre carte e quindi il nostro altlante a $n+1$ carte:
$(U_(alpha), phi_(alpha))_(alpha in \{ 0, ..., n\})$

dove $phi_(alpha)$ è definito in modo tale che $phi_(alpha) o pi = phi'_(alpha)$.

Claim:
$(U_(alpha), phi_(alpha))_(alpha in \{ 0, ..., n\})$ è un atlante per $RR P^n$.

Proof:
Chiaramente
$bigcup_(alpha in \{ 0, ..., n\}) U_(alpha) = RR P^n$
e chiaramente per ogni $alpha = 0, ..., n$ si ha che $(U_(alpha), phi_(alpha))$ sono effettivamente carte.

Siano $alpha, beta in {0, ..., n}$.
Abbiamo che
$phi_(alpha) ( U_(alpha) cap U_(beta)) = phi'_(alpha) (V_(alpha, beta))$, dove $V_(alpha, beta) := \{p in RR^(n+1) | p_(alpha) ne 0, p_(beta) ne 0 \}$ e quindi è aperto in $RR^(n+1)$. Quindi $phi_(alpha) (U_(alpha) cap U_(beta))$ è aperto in $RR^n$
Analogamente per $phi_(beta) ( U_(alpha) cap U_(beta))$.


DOMANDA:
L'unica cosa che mi manca è da dimostrare che le due mappe $phi_(alpha) o phi_(beta)^(-1)$, e $phi_(beta) o phi_(alpha)^(-1)$ sono liscie, ma non so benissimo come fare.

Chi mi aiuta? Thanks, e spero di non avervi spaventato!

[rubik2]

ci sono un paio di cose che non mi tornano:

1. non capisco perché prendi $RR^(n+1)$, mi spiego: se prendi ad esempio $U_0$ risulta $U_0~=RR^n$ tramite l'applicazione $phi_0("["x_0,..,x_n"]")=(x_1/x_0,...,x_n/x_0)$ e queste (mi pare) sarebbero delle ottime candidate ad essere le mappe dell'atlante (come si dimostri che lei e l'inversa siano continue dovrei pensarci).

2. tu dici "$phi_alpha$ è definito in modo tale che $phi_alpha o pi=phi_alpha'$" è ovvio che si può fare? esiste un'applicazione del genere? è unica? devo essere sincero magari hai usato qualche teorema che lo garantisce ma preferisco chiedere invece di cercare

spero i miei non siano dubbi inutili ciao

[pat871]

Heheheh non so benissimo nemmeno io quello che ho fatto, perché ho seguito i consigli del mio assistente, il quale diceva che bisognava prendere quelle $U_(alpha)$, $V_(alpha)$, trovare $phi'_(alpha)$ e poi definire $phi_(alpha)$ in quel modo. Dici che $phi_(alpha)$ potrebbe non essere ben definita?

Per la questione $RR^(n+1)$ non capisco cosa c'è che non va. In fondo $RR P^n = RR^(n+1) - {0} // sim$, quindi è lecito lavorare con $V_(alpha)$ in $RR^(n+1)$ (secondo me)...
Ma in effetti vedo che funziona anche come dici te...

Scusami ma ho appena iniziato con queste cose...

[rubik2]

faccio un esempio:

prendi $RR\mathbb{P}^1$ è una circonferenza, bastano due carte per coprirla: la circonferenza meno il polo nord con mappa la proiezione stereografica dal polo nord e circonferenza meno il polo sud con analoga mappa, tralasciando la differenziabilità è evidente che $RR\mathbb{P}^1$ è una varietà topologica di dimensione 1 ed in nessun modo può essere una varietà di dimensione 2 ovvero con carte in $RR^2$ che è quello che cercavi di fare te.

inoltre la tua $phi_alpha'$ (che poi è quella che ho usato anch'io) si vede facilmente che è iniettiva, suriettiva e invertibile, non mi è chiaro perchè passare ad un'altra mappa.

purtroppo gli esempi dicono poco sul caso generale, però da quello che ricordo dell'esame di topologia $RR\mathbb{P}^2$ mi fu "presentato" geometricamente come un disco con cucito al bordo un nastro di Moebius, entrambi oggetti di dim 2 e non di dim 3.

Non so se tutto ciò può esserti utile per chiarirti la situazione, fammi sapere ciao

[pat871]

1) Ma rubik, da come l'ho definita io la funzione $phi_(alpha)$ (a patto che sia ben definita, ma credo di sì) è una funzione:
$phi_(alpha): U_(alpha) to RR^n$, dove $U_(alpha) subset RR P^n$.
E quindi nell'esempio che hai fatto le carte per $RR P^1$ sarebbero in realtà unidimensionali e vanno bene...

2) $phi'_(alpha)$ non credo che sia necessariamente suriettiva...e cmq generalmente funzioni che vanno da $RR^(n+1)$ a $RR^n$ non possono essere biettive....

[rubik2]

hai ragione, non avevo capito. il tuo passaggio per $RR^(n+1)$ mi ha disorientato, ricapitolo:

sia $p=(p_0,..,p_n)$ un punto in $RR^(n+1)$

abbiamo $phi_alpha'(p)=1/p_alpha(p_1,...,p_(alpha-1),p_(alpha+1),...,p_n)$

ora $pi(p)=[p_0,...,p_n]$ vogliamo $phi_alpha$ tale che $phi_alpha @ pi=phi_alpha'$

quindi deve essere $phi_alpha([p_0,...,p_n])=1/p_alpha(p_1,...,p_(alpha-1),p_(alpha+1),...,p_n)$

concludendo: avevi ragione ti mancava (forse) solo di ricavare l'espressione esplicità delle $phi_alpha$, il passaggio per gli aperti di $RR^(n+1)$ mi ha portato fuori strada. hai ragione anche sulle $phi_alpha'$ non so perchè mi sembrava biunivoca. dopo innumerevoli svarioni, scusami se ti ho fatto perdere tempo e magari portato fuori strada. Per il fatto che siano lisce (che era il problema principale) non ho soluzione

edit: conoscendo l'espressione esplicita ti puoi scrivere $phi_alpha @ phi_beta^(-1)$ e verificare che sia liscia, spero di non aver aggiunto altre cavolate