Atlanti e carte

[gygabyte017]

Data una varietà $X$, devo trovarne un atlante. Mi potreste confermare se questo procedimento è corretto?

1) Cerco in $X$ una famiglia di aperti ${U_i}$ tali che $uuu U_i = X$, $U_i nn U_j != \emptyset$, $U_i ~= V_i subseteq R^n$.

2) Per ogni $U_i$, trovo l'omeomorfismo $varphi_i : \quad U_i \quad -> \quad V_i subseteq R^n$ (e quindi ho trovato le carte dell'atlante)

3) Per ogni $i!=j$, trovo le funzioni di transizione $varphi_(ij)=(varphi_i)_(|U_i nn U_j) o (varphi_j)_(|U_i nn U_j)^(-1)$

4) Verifico che le $varphi_(ij)$ sono differenziabili di classe $C^k$

Ammesso che sia giusto il procedimento, che cosa significa che le $varphi_(ij)$ sono differenziabili di classe $C^k$? E chi $k$?

[Dove posso trovare esercizi su questo argomento?]

Grazie!

[apatriarca]

Direi che una spiegazione la trovi su qualsiasi testo di geometria differenziale (o anche nelle dispense dei corsi). $\varphi_{ij}$ è una funzione da $RR^n$ a $RR^n$ e quindi la nozione di differenziabilità e classe $C^k$ sono quelle che si usano normalmente in analisi.

[rubik2]

non credo sia necessario chiedere che gli aperti siano a due a due disgiunti

[Thomas16]

"rubik":non credo sia necessario chiedere che gli aperti siano a due a due disgiunti

in realtà lui li chiede a due a due NON disgiunti... anche se in effetti il dubbio resta... chi controlla?

[gygabyte017]

No no sono a due a due NON disgiunti! Altrimenti non avrebbero neanche senso le funzioni di transizione, visto che sono definite proprio nell'intersezione degli aperti...
Quindi è giusto il procedimento? La 4) è necessaria per verificare che l'atlante sia corretto?

[apatriarca]

La regolarità delle funzioni di transizione è importante, ma è sufficiente che sia un omeomorfismo.

[rubik2]

"rubik":non credo sia necessario chiedere che gli aperti siano a due a due disgiunti

mi sono sbagliato volevo dire che non è necessario chiedere che gli aperti siano a due a due non disgiunti.