Associare un vettore all'immagine di una funzione lineare.
Ragazzi...ho provato a svolgerlo e vorrei sapere se ho eseguito i passaggi correttamente..se qualcuno mi potrebbe aiutare gliene sarei molto grato!!
Sia \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) l'applicazione lineare dipendente da un parametro \(\displaystyle\lambda \in R \)seguente:
\(\displaystyle f:\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \) \(\displaystyle := \) \(\displaystyle\begin{bmatrix} 2x_1+\lambda x_3 \\ x_1 - \lambda x_2 + x_3 \\ -2x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix} \).
Mi viene chiesto: Per una valore di \(\displaystyle \lambda \) scelto a piacere, determinare l'immagine del vettore \(\displaystyle w= (1,1,1)^t \).
SVOLGIMENTO: Per svolgere questo quesito ho semplicemente imposto che il vettore \(\displaystyle w \) potesse essere scritto come combinazione lineare degli altri tre vettori. Quindi \(\displaystyle f(w)=a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+a_3f(x_3) \). Posto \(\displaystyle \lambda=2 \) ho dunque ricavato: \(\displaystyle f(1,1,1)=a_1(2,0,2)+a_2(1,-2,1)+a_3(0,-2,1) \). Svolgendo il sistema associato : \(\displaystyle \begin{cases} 2a_1+a_2=1\\
-2a_2 -2a_3=1\\2a_1+a_2+a_3=1 \end{cases} \). Quindi \(\displaystyle a_1=\frac{3}{4},a_2=-\frac{1}{2},a_3=0 \), che dovrebbe rappresentare l'immagine del vettore nella mia funzione. E' corretto? Perchè in pratica io ho una fuonzione \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) che tende ad \(\displaystyle R^4 \) e quindi non sò bene se l'immagine del vettore che devo determinare deve avere 3 componenti o 4 componenti. Poi mi chiedo anche se esiste un diverso modo per determinare l'immagine di un vettore in questo caso. Sono nelle vostre mani
Sia \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) l'applicazione lineare dipendente da un parametro \(\displaystyle\lambda \in R \)seguente:
\(\displaystyle f:\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \) \(\displaystyle := \) \(\displaystyle\begin{bmatrix} 2x_1+\lambda x_3 \\ x_1 - \lambda x_2 + x_3 \\ -2x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix} \).
Mi viene chiesto: Per una valore di \(\displaystyle \lambda \) scelto a piacere, determinare l'immagine del vettore \(\displaystyle w= (1,1,1)^t \).
SVOLGIMENTO: Per svolgere questo quesito ho semplicemente imposto che il vettore \(\displaystyle w \) potesse essere scritto come combinazione lineare degli altri tre vettori. Quindi \(\displaystyle f(w)=a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+a_3f(x_3) \). Posto \(\displaystyle \lambda=2 \) ho dunque ricavato: \(\displaystyle f(1,1,1)=a_1(2,0,2)+a_2(1,-2,1)+a_3(0,-2,1) \). Svolgendo il sistema associato : \(\displaystyle \begin{cases} 2a_1+a_2=1\\
-2a_2 -2a_3=1\\2a_1+a_2+a_3=1 \end{cases} \). Quindi \(\displaystyle a_1=\frac{3}{4},a_2=-\frac{1}{2},a_3=0 \), che dovrebbe rappresentare l'immagine del vettore nella mia funzione. E' corretto? Perchè in pratica io ho una fuonzione \(\displaystyle f:R^3 \longrightarrow R^4 \) che tende ad \(\displaystyle R^4 \) e quindi non sò bene se l'immagine del vettore che devo determinare deve avere 3 componenti o 4 componenti. Poi mi chiedo anche se esiste un diverso modo per determinare l'immagine di un vettore in questo caso. Sono nelle vostre mani
Risposte
Guarda che viene chiesta l'immagine di $w$, non la controimmagine, ovvero $w in RR^3$ e devi calcolare $f(w) in RR^4$
Oddio e come si fa?
Ti ho risposto nell'altra discussione. Sei pregato di non fare doppioni.
"akos070191":concettualmente se fuori strada di moolto.. \(f(w) \in \Bbb{R}^4\) se vuoi vederlo come combinazione lineare devi prendere dei vettori e non dei scalari, ma non solo tu hai un omomorfismo da \( \Bbb{R}^3 \) a \( \Bbb{R}^4\) mentre \(x_1,x_2,x_3 \in \Bbb{R}\) quindi scrivere \( f(x_1),f(x_2),f(x_3)\) è anche errato e insensato...
Quindi \(\displaystyle f(w)=a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+a_3f(x_3) \).
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