Assiomi di Hilbert
Prendiamo in esame i primi due assiomi di incidenza per la Geometria di Hilbert:
I.1: Two distinct points A and B always completely determine a straight line a. We write AB = a or BA = a. Instead of “determine,” we may also employ other forms of expression; for example, we may say “A lies upon a”, “A is a point of a“, “a goes through A and through B”, ”a joins A and or with B”, etc. If A lies upon a and at the same time upon another straight line b, we make use also of the expression: “The straight lines a and b have the point A in common,” etc.
I.2: Any two distinct points of a straight line completely determine that line; that is, if AB = a and AC = a, where B ≠ C, then also BC = a.
In base a quanto affermato in I.1, data una retta $a$, un punto $A$ sta sulla retta $a$ se esiste un punto $B$ tale che $AB=a$.
La mia domanda è: se due punti distinti $B$ e $C$ stanno su una retta $a$, allora $BC=a$?
I.1: Two distinct points A and B always completely determine a straight line a. We write AB = a or BA = a. Instead of “determine,” we may also employ other forms of expression; for example, we may say “A lies upon a”, “A is a point of a“, “a goes through A and through B”, ”a joins A and or with B”, etc. If A lies upon a and at the same time upon another straight line b, we make use also of the expression: “The straight lines a and b have the point A in common,” etc.
I.2: Any two distinct points of a straight line completely determine that line; that is, if AB = a and AC = a, where B ≠ C, then also BC = a.
In base a quanto affermato in I.1, data una retta $a$, un punto $A$ sta sulla retta $a$ se esiste un punto $B$ tale che $AB=a$.
La mia domanda è: se due punti distinti $B$ e $C$ stanno su una retta $a$, allora $BC=a$?
Risposte
In realtà non è corretto quello che affermi. Non è che un punto $A$ sta su una retta $a$ se esiste un punto $B$ tale che $AB=a$; un punto $A$ sta su una retta $a$ se $A$ incide $a$; poi se $A$ incide $a$ allora per il secondo assioma di Hilbert possiamo anche affermare che esiste un altro punto $B$ che incide $a$ e si ha $AB=a$.
Per rispondere alla tua domanda: sia $a$ una retta; per il secondo assioma di Hilbert su questa retta esistono due punti, che possiamo chiamare $B$ e $C$; allora visto che due punti individuano esattamente una retta possiamo sicuramente affermare $BC=a$.
Spero di non aver detto cretinate, altrimenti corregetemi...
Per rispondere alla tua domanda: sia $a$ una retta; per il secondo assioma di Hilbert su questa retta esistono due punti, che possiamo chiamare $B$ e $C$; allora visto che due punti individuano esattamente una retta possiamo sicuramente affermare $BC=a$.
Spero di non aver detto cretinate, altrimenti corregetemi...
"maurer":Come definisci la relazione di indicenza tra un punto e una retta?
un punto $A$ sta su una retta $a$ se $A$ incide $a$;
"maurer":l'assioma I.2 non dice che su retta $a$ esistono due punti $B$ e $C$; afferma che se $AB=a$ e $AC=a$ (dove $A,B,C$ sono tre punti distinti fra loro e $a$ è una retta) allora $BC=a$.
Per rispondere alla tua domanda: sia $a$ una retta; per il secondo assioma di Hilbert su questa retta esistono due punti, che possiamo chiamare $B$ e $C$; allora visto che due punti individuano esattamente una retta possiamo
sicuramente affermare $BC=a$.
La mia domanda è: se $A,B,C,D$ sono quattro punti distinti ed $a$ è una retta tali $AB=a$ e $DC=a$ allora $BC=a$?
Probabilmente la risposta è no; consideriamo il seguente sistema costitutito da 4 punti $A,B,C,D$, tre rette $a,b,c$ e le seguenti incidenze:
$AB=a$
$AC=b$
$AD=c$
$BC=c$
$BD=b$
$CD=a$
L'assioma I.1 è soddisfatto in quanto ogni coppia di punti distinti individua una retta; l'assioma I.2 è pure verificato. D'altra parte $AB=a$, $CD=a$, ma $BC=c\ne a$; in particolare su ciascuna delle tre rette si trovano tutti i quattro punti $A,B,C,D$.
Vale la pena notare che risulta verificato anche l'assioma:
I.3: Three points $A, B, C$ not situated in the same straight line always completely determine a plane $\alpha$. We write $ABC = \alpha$. We employ also the expressions: “$A, B, C$ lie in $\alpha$”; “$A, B, C$ are points of $\alpha$”, etc.
in quanto ogni terna di punti è situata su una stessa retta.
$AB=a$
$AC=b$
$AD=c$
$BC=c$
$BD=b$
$CD=a$
L'assioma I.1 è soddisfatto in quanto ogni coppia di punti distinti individua una retta; l'assioma I.2 è pure verificato. D'altra parte $AB=a$, $CD=a$, ma $BC=c\ne a$; in particolare su ciascuna delle tre rette si trovano tutti i quattro punti $A,B,C,D$.
Vale la pena notare che risulta verificato anche l'assioma:
I.3: Three points $A, B, C$ not situated in the same straight line always completely determine a plane $\alpha$. We write $ABC = \alpha$. We employ also the expressions: “$A, B, C$ lie in $\alpha$”; “$A, B, C$ are points of $\alpha$”, etc.
in quanto ogni terna di punti è situata su una stessa retta.
"ficus2002":
Come definisci la relazione di indicenza tra un punto e una retta?
Per come la so io, nella geometria di Hilbert ci sono alcuni oggetti ed alcune relazioni che vengono lasciate indefinite. Esattamente questi termini indefiniti sono sei: punto, retta, incidenza, ordine, congruenza 1 (tra segmenti), congruenza 2 (tra angoli).
In altre parole, non si cerca di spiegare che cos'è un punto, si assume il termine punto come l'oggetto della trattazione seguente e si specifica che per due punti passa una sola retta. Detto ancora diversamente, non interessa che cosa sono esattamente questi oggetti o queste relazioni, interessano solamente le loro proprietà. Hilbert, sempre per quanto mi è stato raccontato o per quello che ho letto io, sosteneva che potremmo fare geometria anche se prendessimo sedie e tavoli al posto di punti e rette. Non è per far degenerare la discussione; è solo che mi sembra una citazione significativa.
Per quanto riguarda l'assioma I.2 ti chiedo scusa; non ho letto con attenzione il tuo enunciato (io lo conoscevo in una forma diversa, dovuta a Greenberg, che affermava, appunto, che su una retta giacciono sempre almeno due punti). In ogni caso, se due punti distinti $B$ e $C$ stanno su una retta $a$, ovvero se $B$ e $C$ sono incidenti con $a$, possiamo affermare in virtù di I.1, che $a$ sia l'unica retta passante per $B$ e $C$ (visto che due punti individuano univocamente una sola retta); in altre parole se affermiamo che $BC=b$, allora poi dobbiamo ammettere, per non cadere in contraddizione con I.1, che $b=a$.
Se non sono stato chiaro o se ho sbagliato qualche passaggio, vi prego di correggermi. Per quanto riguarda il modello a quattro punti e tre rette, ci devo pensare un attimo su...
"maurer":Quello che dici è vero; tuttavia penso che l'assioma I.1 debba essere intepretato in questo modo:
Per come la so io, nella geometria di Hilbert ci sono alcuni oggetti ed alcune relazioni che vengono lasciate indefinite. Esattamente questi termini indefiniti sono sei: punto, retta, incidenza, ordine, congruenza 1 (tra segmenti), congruenza 2 (tra angoli).
Ad ogni coppia non ordinata $A,B$ di punti (distinti) è associata una retta $a$.
In secondo luogo, l'assioma I.1 riporta
"Hilbert":quindi sembrerebbe che la relazione di incidenza venga definita sulla base della corrispondenza di cui sopra.
Instead of “determine,” we may also employ other forms of expression; for example, we may say “A lies upon a”...
Non posso dirmi completamente d'accordo. Ad essere pignoli (si tratta proprio di questo, nella geometria di Hilbert) la parte di I.1 che citi non definisce[\i] la relazione di incidenza tra punto e retta; semplicemente ne enuncia una proprietà: se $AB=a$ possiamo dire che $A$ incide $a$. Per quello che ne posso capire io, dire che $A$ incide $a$ se e solo se esiste $B$ tale che $AB=a$ significherebbe forzare quello che abbiamo (cioè i primi tre assiomi di incidenza). Di fatto, non sappiamo che cos'è una retta (non è definita, quindi non è necessariamente vero che è un insieme di punti).
Spero di non fare errori troppo grossolani nell'esporre questo mio ragionamento.
Definizione. Due rette si dicono distinte se esiste un punto che incide una ma non incide l'altra. Due rette si dicono parallele se non si incidono mai.
Lemma. Due rette distinte e non parallele si intersecano in uno ed un solo punto.
Dimostrazione: siano $a$ e $b$ due rette distinte e non parallele. Dal momento che non sono parallele allora esiste almeno un punto P che incide entrambe; quindi è dimostrato che le due rette si incidono; supponiamo per assurdo che esista un altro punto A, distinto dal primo, che le incida entrambe. Allora si ha che A incide $a$ e A incide $b$. Ma allora si ha che A e P individuano $a$ e che sempre A e P individuano $b$, rette per ipotesi distinte. Ma questo è un assurdo, dal momento che per I.1 due punti individuano univocamente una retta.
Consideriamo il tuo problema. Siano $A,B,C,D$ quattro punti distinti tali che $AB=a$, $CD=a$. Allora si può dire per I.1 che $B$ incide $a$ e $C$ incide $a$. Supponiamo ora per assurdo che sia $BC=b$ e che $b!=a$ (cioè che $a$ e $b$ siano distinte fra loro). Allora, sempre per I.1 possiamo affermare che $B$ incide $b$ e che $C$ incide $b$. Ma $B$ incide sia $a$ sia $b$, quindi è un punto in comune delle due rette (come si afferma in I.1); contemporaneamente $C$ incide sia $a$ sia $b$, quindi è un punto in comune alle due rette. Ma allora le rette $a$ e $b$ si incidono in due punti distinti, il che è impossibile per il lemma. Quindi deve essere $b=a$, cioè $BC=a$.
Se il ragionamento è corretto, allora nel tuo modello, se si assume $a!=b!=c$ si finisce in un assurdo
Spero di non fare errori troppo grossolani nell'esporre questo mio ragionamento.
Definizione. Due rette si dicono distinte se esiste un punto che incide una ma non incide l'altra. Due rette si dicono parallele se non si incidono mai.
Lemma. Due rette distinte e non parallele si intersecano in uno ed un solo punto.
Dimostrazione: siano $a$ e $b$ due rette distinte e non parallele. Dal momento che non sono parallele allora esiste almeno un punto P che incide entrambe; quindi è dimostrato che le due rette si incidono; supponiamo per assurdo che esista un altro punto A, distinto dal primo, che le incida entrambe. Allora si ha che A incide $a$ e A incide $b$. Ma allora si ha che A e P individuano $a$ e che sempre A e P individuano $b$, rette per ipotesi distinte. Ma questo è un assurdo, dal momento che per I.1 due punti individuano univocamente una retta.
Consideriamo il tuo problema. Siano $A,B,C,D$ quattro punti distinti tali che $AB=a$, $CD=a$. Allora si può dire per I.1 che $B$ incide $a$ e $C$ incide $a$. Supponiamo ora per assurdo che sia $BC=b$ e che $b!=a$ (cioè che $a$ e $b$ siano distinte fra loro). Allora, sempre per I.1 possiamo affermare che $B$ incide $b$ e che $C$ incide $b$. Ma $B$ incide sia $a$ sia $b$, quindi è un punto in comune delle due rette (come si afferma in I.1); contemporaneamente $C$ incide sia $a$ sia $b$, quindi è un punto in comune alle due rette. Ma allora le rette $a$ e $b$ si incidono in due punti distinti, il che è impossibile per il lemma. Quindi deve essere $b=a$, cioè $BC=a$.
Se il ragionamento è corretto, allora nel tuo modello, se si assume $a!=b!=c$ si finisce in un assurdo
"maurer":
Non posso dirmi completamente d'accordo. Ad essere pignoli (si tratta proprio di questo, nella geometria di Hilbert) la parte di I.1 che citi non definisce la relazione di incidenza tra punto e retta; semplicemente ne enuncia una proprietà: se $AB=a$ possiamo dire che $A$ incide $a$. Per quello che ne posso capire io, dire che $A$ incide $a$ se e solo se esiste $B$ tale che $AB=a$ significherebbe forzare quello che abbiamo (cioè i primi tre assiomi di incidenza). Di fatto, non sappiamo che cos'è una retta (non è definita, quindi non è necessariamente vero che è un insieme di punti).
D'accordo, dunque diciamo che:
- [*:36cxioi4]se $AB=a$ allora $A$ sta su $a$;[/*:m:36cxioi4]
[*:36cxioi4]se $A$ sta su $a$ non è detto, a priori, che $AB=a$ per qualche punto $B$ (distinto da $A$).[/*:m:36cxioi4][/list:u:36cxioi4]
"maurer":
Spero di non fare errori troppo grossolani nell'esporre questo mio ragionamento.
Definizione. Due rette si dicono distinte se esiste un punto che incide una ma non incide l'altra. Due rette si dicono parallele se non si incidono mai.
Ok, però forse è meglio dire: due rette si dicono parallele se e solo se non esiste alcun punto che sta su entrambe.
"maurer":
Lemma. Due rette distinte e non parallele si intersecano in uno ed un solo punto.
Dimostrazione: siano $a$ e $b$ due rette distinte e non parallele. Dal momento che non sono parallele allora esiste almeno un punto P che incide entrambe; quindi è dimostrato che le due rette si incidono; supponiamo per assurdo che esista un altro punto A, distinto dal primo, che le incida entrambe. Allora si ha che A incide $a$ e A incide $b$. Ma allora si ha che A e P individuano $a$ e che sempre A e P individuano $b$, rette per ipotesi distinte. Ma questo è un assurdo, dal momento che per I.1 due punti individuano univocamente una retta.
Non mi torna la parte in corsivo: come garantisci che se i punti $A$ e $P$ stanno su $a$ allora $AP=a$?
"maurer":
Se il ragionamento è corretto, allora nel tuo modello, se si assume $a!=b!=c$ si finisce in un assurdo
Il problema è che il modello sopra soddisfa gli assiomi I.1 e I.2, ma la proprietà
$AB=a, CD=a\implies BC=a$ (*)
non è soddisfatta. Tuttavia, la (*) è vera nell'ambito della geometria euclieda. Dunque, il problema ora diventa:
qual'è l'assioma di Hilbert che garantisce la validità di (*)?
"ficus2002":
come garantisci che se i punti $A$ e $P$ stanno su $a$ allora $AP=a$?
Non è forse sufficiente I.2?
"Hilbert":
Any two distinct points of a straight line completely determine that line
cioè, se non traduco male, "due punti distinti di una retta (i.e. appartenenti ad una retta) determinano univocamente quella retta". Dal momento che $A$ incide $a$ e $P$ incide $a$ allora la retta $a$ è univocamente determinata da $A$ e da $P$; si può cioè scrivere $AP=a$.
Cosa c'è di illecito in questo passaggio?
"maurer":
[quote="Hilbert"]Any two distinct points of a straight line completely determine that line
cioè, se non traduco male, "due punti distinti di una retta (i.e. appartenenti ad una retta) determinano univocamente quella retta". Dal momento che $A$ incide $a$ e $P$ incide $a$ allora la retta $a$ è univocamente determinata da $A$ e da $P$; si può cioè scrivere $AP=a$.
Cosa c'è di illecito in questo passaggio?[/quote]
Il dubbio mi sorge in seguito all'affermazione
"Hilbert":
that is, if AB = a and AC = a, where B ≠ C, then also BC = a.
non capisco se questa è una riformulazione della frase precedente "Any two distinct points of a straight line completely determine that line" o semplicemente una esemplificazione in un caso particolare.
Mi spiego meglio: consideriamo le due affermazioni:
[list=1][*:21lj31mw] se due punti $B$ e $C$ distinti stanno su una retta $a$, allora $BC=a$;[/*:m:21lj31mw]
[*:21lj31mw] se $AB=a$, $AC=a$ e $B\ne C$ allora $BC=a$.[/*:m:21lj31mw][/list:o:21lj31mw]
La 1. è la tua interpretazione della frase "Any two distinct points of a straight line completely determine that line".
E' chiaro che $1\implies 2$, mentre in generale $2$ non implica $1$ come mostra il modello che ho riportato. Dunque le affermazioni $1$ e $2$ non sono equivalenti. Dunque, l'assioma I.2 a quale di queste due frasi corrisponde? In altre parole, quel "that is" è da leggersi come "in particolare" o come "equivalentemente"?
A mio parere:
(i)"Any two distinct points of a straight line completely determine that line" implica:
1. su una retta esistono almeno due punti;
2. questi due punti determinano univocamente la retta (questo in realtà segue automaticamente da I.1, l'importanza e la non banalità di I.2 sta proprio nel fatto che implica l'esistenza di almeno due punti su di una retta).
(ii)"that is if AB=a and AC=a, where $B!=C$ then also BC=a" significa: se su una retta si trovano tre punti ($AB=a$ e $AC=a$, $B!=C$), allora ogni coppia di questi tre punti individua la stessa retta.
Non direi che si tratta di mostrare che $(i)<=>(ii)$; mi dà piuttosto l'impressione che con (ii) si voglia evidenziare una conseguenza notevole (perché è operativa, nel senso che può essere utilizzata al fine delle dimostrazioni successive) di I.1 e I.2. Infatti, $a=AB$ e $a=AC$ è reso possibile sempre grazie a (i); inoltre (ii) segue direttamente da I.1 per assurdo.
Cosa ne pensi?
(i)"Any two distinct points of a straight line completely determine that line" implica:
1. su una retta esistono almeno due punti;
2. questi due punti determinano univocamente la retta (questo in realtà segue automaticamente da I.1, l'importanza e la non banalità di I.2 sta proprio nel fatto che implica l'esistenza di almeno due punti su di una retta).
(ii)"that is if AB=a and AC=a, where $B!=C$ then also BC=a" significa: se su una retta si trovano tre punti ($AB=a$ e $AC=a$, $B!=C$), allora ogni coppia di questi tre punti individua la stessa retta.
Non direi che si tratta di mostrare che $(i)<=>(ii)$; mi dà piuttosto l'impressione che con (ii) si voglia evidenziare una conseguenza notevole (perché è operativa, nel senso che può essere utilizzata al fine delle dimostrazioni successive) di I.1 e I.2. Infatti, $a=AB$ e $a=AC$ è reso possibile sempre grazie a (i); inoltre (ii) segue direttamente da I.1 per assurdo.
Cosa ne pensi?
"maurer":
Cosa ne pensi?
Se l'assioma I.2 significa che
se $B$ e $C$ sono due punti distinti che stanno su una retta $a$ allora $BC=a$
allora tutti i miei dubbi sono risolti; in tal caso il modello che ho postato non soddisfa l'assioma I.2 e la tua dimostrazione sta in piedi.
Secondo me è proprio così; in particolare, come ho già affermato, I.2 assicura che su di una retta si trovano sempre almeno due punti (ed infatti io lo conoscevo in questa forma); la parte (ii) è semplicemente una conseguenza.
Solo una curiosità: mi è venuto un dubbio simile al tuo per I.3; tu affermi che il tuo modello soddisfa I.3 perché ogni terna di punti sta sulla stessa retta. Con questo vuoi dire che infatti i quattro punti non individuano un piano $\alpha$? Sono perplesso semplicemente perché anche in questo caso io conoscevo un'altra versione di I.3, che afferma che esistono sempre tre punti che non giacciono sulla stessa retta; naturalmente il tuo modello non soddisfa questa richiesta...
Solo una curiosità: mi è venuto un dubbio simile al tuo per I.3; tu affermi che il tuo modello soddisfa I.3 perché ogni terna di punti sta sulla stessa retta. Con questo vuoi dire che infatti i quattro punti non individuano un piano $\alpha$? Sono perplesso semplicemente perché anche in questo caso io conoscevo un'altra versione di I.3, che afferma che esistono sempre tre punti che non giacciono sulla stessa retta; naturalmente il tuo modello non soddisfa questa richiesta...
"maurer":
Secondo me è proprio così; in particolare, come ho già affermato, I.2 assicura che su di una retta si trovano sempre almeno due punti (ed infatti io lo conoscevo in questa forma); la parte (ii) è semplicemente una conseguenza.
In ogni caso, tieni conto che fra gli assiomi compare anche il seguente
I.7: Upon every straight line there exist at least two points, in every plane at least three points not lying in the same straight line, and in space there exist at least four points not lying in a plane.
che il modello non soddisfa.
Ho riletto con calma gli assiomi che stiamo discutendo (I.1,I.2,I.3,I.7). Effettivamente se I.2 significasse esattamente quello che ho detto io (su una retta si trovano sempre due punti) I.7 sarebbe superfluo, il che naturalmente è assurdo (immagino che se ne sarebbe accorto qualcun altro prima di noi!!). Quindi I.2 signfica qualcosa di diverso. E se significasse proprio quello che c'è scritto, senza troppe altre complicazioni?
Mi spiego meglio. I.1 signfica che dati due punti allora esiste sempre ed è unica la retta che passa per quei dati punti. I.2 significa che se su una retta ci sono due punti (la loro esistenza non è quindi assicurata, ecco dove sbagliavo!) allora la retta è individuata dai due punti. La parte che ho chiamato (ii) vuole semplicemente chiarire che una retta non è individuata esattamente solo da una coppia di punti, ma da qualsiasi coppia di punti che si trovi sulla stessa.
Mi sembra di capire che se ci limitassimo alla parte (i) I.2 non direbbe nulla di nuovo rispetto a I.1: è infatti evidente (da I.1) che se su una retta ci sono due punti allora i due punti individuano la retta stessa; non è altrettanto ovvio che ogni coppia di punti di una retta individui quella stessa retta. Da I.1 si potrebbe dedurre I.2 solo caso per caso, e non in generale.
Questa è la nuova impressione che ho avuto rileggendo gli assiomi di Hilbert. Spero di non aver di nuovo fatto errori di interpretazione. Cosa te ne pare? Ti convince?
Mi spiego meglio. I.1 signfica che dati due punti allora esiste sempre ed è unica la retta che passa per quei dati punti. I.2 significa che se su una retta ci sono due punti (la loro esistenza non è quindi assicurata, ecco dove sbagliavo!) allora la retta è individuata dai due punti. La parte che ho chiamato (ii) vuole semplicemente chiarire che una retta non è individuata esattamente solo da una coppia di punti, ma da qualsiasi coppia di punti che si trovi sulla stessa.
Mi sembra di capire che se ci limitassimo alla parte (i) I.2 non direbbe nulla di nuovo rispetto a I.1: è infatti evidente (da I.1) che se su una retta ci sono due punti allora i due punti individuano la retta stessa; non è altrettanto ovvio che ogni coppia di punti di una retta individui quella stessa retta. Da I.1 si potrebbe dedurre I.2 solo caso per caso, e non in generale.
Questa è la nuova impressione che ho avuto rileggendo gli assiomi di Hilbert. Spero di non aver di nuovo fatto errori di interpretazione. Cosa te ne pare? Ti convince?
Si penso anch'io che sia così; mi ero lasciato ingannare dalla frase "that is if AB=a and AC=a, where B≠C then also BC=a".
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo