Assi e asintoti di una conica
Salve ragazzi , cercavo una "scorciatoia" per calcolare gli assi e gli asintoti di una conica.In particolar modo se ho una conica di equazione 2xy +4x -4y +1 =0 , avrà come assi :
[1] le due rette x + y + 2 = 0 e x − y = 0
[2] le due rette x = 2 e y = −2
[3] le due rette x + y − 2 = 0 e x − y + 2 = 0
[4] le due rette x + y = 0 e x − y − 4 = 0
Tra queste 4 risposte ,una è corretta (la 4), come faccio a verificare che l'asse sia quello senza fare "particolari" calcoli?Come posso sfruttare le risposte per trovare quella giusta?(conosco il procedimento per trovarli ma,ritengo sia troppo lungo per poterlo applicare durante l'esame ) per cui mi chiedevo se esistesse un escamotage per vedere subito quale delle quattro risposte è quella giusta.Grazie
[1] le due rette x + y + 2 = 0 e x − y = 0
[2] le due rette x = 2 e y = −2
[3] le due rette x + y − 2 = 0 e x − y + 2 = 0
[4] le due rette x + y = 0 e x − y − 4 = 0
Tra queste 4 risposte ,una è corretta (la 4), come faccio a verificare che l'asse sia quello senza fare "particolari" calcoli?Come posso sfruttare le risposte per trovare quella giusta?(conosco il procedimento per trovarli ma,ritengo sia troppo lungo per poterlo applicare durante l'esame ) per cui mi chiedevo se esistesse un escamotage per vedere subito quale delle quattro risposte è quella giusta.Grazie
Risposte
Beh, è un iperbole equilatera traslata.
Basta ricavare la $y$ in funzione di $x$ e calcolare gli asintoti con le tecniche dell’Analisi; gli assi sono le bisettrici degli angoli formati dagli asintoti.
Infatti la curva-grafico di equazione:
\[
y = - \frac{4x + 1}{2(x - 2)}
\]
ha asintoti di equazioni $x = 2$ ed $y = -2$; gli assi sono le parallele alle bisettrici passanti per il centro $C=(2, -2)$, dunque $x + y = 0$ ed $x - y - 4 = 0$.
Probabilmente c’è qualche trucco più geometrico, ma ora non me ne ricordo nessuno.
Basta ricavare la $y$ in funzione di $x$ e calcolare gli asintoti con le tecniche dell’Analisi; gli assi sono le bisettrici degli angoli formati dagli asintoti.
Infatti la curva-grafico di equazione:
\[
y = - \frac{4x + 1}{2(x - 2)}
\]
ha asintoti di equazioni $x = 2$ ed $y = -2$; gli assi sono le parallele alle bisettrici passanti per il centro $C=(2, -2)$, dunque $x + y = 0$ ed $x - y - 4 = 0$.
Probabilmente c’è qualche trucco più geometrico, ma ora non me ne ricordo nessuno.
Nel caso in cui avessi un'ellisse o una parabola, gli asintoti li posso sempre calcolare in quel modo?
Se dovessi calcolare gli asintoti di questa conica :
xy-y^2+x+2y-3=0
Come imposto il limite visto che c'è un termine al quadrato?
Se dovessi calcolare gli asintoti di questa conica :
xy-y^2+x+2y-3=0
Come imposto il limite visto che c'è un termine al quadrato?
Ti pare che sia possibile calcolare gli asintoti di un’ellisse o di una parabola?
Sai come sono fatte tali coniche?
Ne hai mai disegnata qualcuna?
Sai come sono fatte tali coniche?
Ne hai mai disegnata qualcuna?
Sono Co.....e hai ragione come imposto il limite di questa conica visto la presenza di y^2?
xy-y^2+x+2y-3=0
xy-y^2+x+2y-3=0
Beh, ricava $x$ anziché $y$ e ragiona per simmetria.
Se ragioni sul problema, un escamotage lo trovi.
Tuttavia, sul libro di testo ci saranno dei procedimenti generali da seguire. Usa quelli.
Se ragioni sul problema, un escamotage lo trovi.
Tuttavia, sul libro di testo ci saranno dei procedimenti generali da seguire. Usa quelli.
Non ci riesco ho fatto il limite raccogliendo la y, e ottengo 1
"gugo82":
[…] sul libro di testo ci saranno dei procedimenti generali da seguire. Usa quelli.
Lo so che ci sono altri procedimenti ma sono troppo lunghi, cercavo soltanto un'escamotage,a questo punto mi sa che non farò l'esercizio riguardante gli asintoti all'esame
Lascia stare “è lungo”, “è corto”, “è pacioccone”… 
Fammi vedere come faresti, perché (come ho già detto) queste cose di Geometria non me le ricordo su due piedi… Ma poi, sono cose che si possono fare in millemila modi e non so come ti sono state mostrate in aula né come ti sono illustrate sul testo.
Fammi vedere come faresti, perché (come ho già detto) queste cose di Geometria non me le ricordo su due piedi… Ma poi, sono cose che si possono fare in millemila modi e non so come ti sono state mostrate in aula né come ti sono illustrate sul testo.
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