Assegnata la matrice associata ..trovare l'endomorfismo

[fed_27]

Salve a tutti mi sto esercitando in geometria e ho trovato questo esercizio:
assegnata la matrice A $((2,0,1),(0,3,0),(1,0,2))$ ho trovato autovalori e autospazi ,la matrice diagonale a questa simile
poi dice scrivere l'endomorfismo dello spazio vettoriale $R^3$ associato ad a si determino ker e imf.
L'endomorfismo lo trovo così X=AX'
e quinidi a 3 valori $((x),(y),(z))$=$((2,0,1),(0,3,0),(1,0,2))((x'),(y'),(z'))$ ???
grazie

[franced]

"fed27":Salve a tutti mi sto esercitando in geometria e ho trovato questo esercizio:
assegnata la matrice A $((2,0,1),(0,3,0),(1,0,2))$

La matrice è diagonalizzabile:

$J = ((1,0,0),(0,3,0),(0,0,3))$

tieni conto che la matrice ha una proprietà interessante:

la somma degli elementi sulle righe è costante ed è pari a 3:
questo significa che $((1),(1),(1))$ è autovettore e $3$ è l'autovalore relativo.

[_Tipper]

Dato che

$A ((x),(y),(z)) = ((2x + z),(3y),(x + 2z))$

l'endomorfismo che vai cercando è la funzione $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3: (x,y,z) \mapsto (2x + z, 3y, x + 2z)$.

[franced]

"franced":[quote="fed27"]Salve a tutti mi sto esercitando in geometria e ho trovato questo esercizio:
assegnata la matrice A $((2,0,1),(0,3,0),(1,0,2))$

La matrice è diagonalizzabile:

$J = ((1,0,0),(0,3,0),(0,0,3))$

tieni conto che la matrice ha una proprietà interessante:

la somma degli elementi sulle righe è costante ed è pari a 3:
questo significa che $((1),(1),(1))$ è autovettore e $3$ è l'autovalore relativo.[/quote]


Considerando che il determinante è uguale a $9$ e che la traccia è $7$,
possiamo trovare gli altri autovalori $lambda_1$ e $lambda_2$:

$3 + lambda_1 + lambda_2 = 7$

$3 * \lambda_1 * lambda_2 = 9$

da cui ricaviamo il sistema:

$lambda1 * lambda_2 = 3$

$lambda_1 + lambda_2 = 4$

quindi dobbiamo risolvere l'equazione di secondo grado seguente:

$lambda^2 - 4 lambda + 3 = 0$

trovando come soluzioni

$lambda_1 = 1$

$lambda_2 = 3$ .

[franced]

"fed27":Salve a tutti mi sto esercitando in geometria e ho trovato questo esercizio:
assegnata la matrice A $((2,0,1),(0,3,0),(1,0,2))$ ho trovato autovalori e autospazi ,la matrice diagonale a questa simile
poi dice scrivere l'endomorfismo dello spazio vettoriale $R^3$ associato ad a si determino ker e imf.
L'endomorfismo lo trovo così X=AX'
e quinidi a 3 valori $((x),(y),(z))$=$((2,0,1),(0,3,0),(1,0,2))((x'),(y'),(z'))$ ???
grazie

Tieni conto che la seconda colonna è multipla di $e_2$, più precisamente abbiamo:

$((0),(3),(0)) = 3 * ((0),(1),(0))$

quindi da questo abbiamo due informazioni:

$3$ è un autovalore dell'endomorfismo e $((0),(1),(0))$ è un autovettore relativo.

Due autovettori linearmente indipendenti relativi all'autovalore $3$ sono $((1),(1),(1))$ e $((0),(1),(0))$;
un autovettore relativo all'autovalore $1$ è $((1),(0),(-1))$.

In definitiva, abbiamo:

$((2,0,1),(0,3,0),(1,0,2)) = ((1,0,1),(1,1,0),(1,0,-1)) ((3,0,0),(0,3,0),(0,0,1)) ((1,0,1),(1,1,0),(1,0,-1))^(-1)$

Insomma, ci sono metodi alternativi al posto del "classico"

$det(A - lambda I)$ .

[franced]

Un'ultima cosa:

ci sono più modi per ordinare gli autovettori e, a seconda dell'ordine,
troviamo matrici diagonali diverse.

Ad esempio, ordinandoli come $((1),(1),(1))$, $((1),(0),(-1))$ e $((0),(1),(0))$

troveremo la matrice diagonale seguente:

$((3,0,0),(0,1,0),(0,0,3))$