Asse di rotazione
Salve! Ho una matrice 3x3 associata ad una rotazione e l'esercizio mi richiede l'asse. Come si determina? Potete spiegarmi i passaggi?
$((12/25,16/25,-3/5),(-4/5,3/5,0),(9/25,12/25,4/5))$
$((12/25,16/25,-3/5),(-4/5,3/5,0),(9/25,12/25,4/5))$
Risposte
Per una rotazione il calcolo è abbastanza facile.Scrivi dapprima la matrice degli autovalori relativa all'autovalore \(\displaystyle \lambda=1 \) ( che per una rotazione è fisso):
\(\displaystyle \begin{pmatrix} -\frac {13}{25}&\frac{16}{25}&-\frac {3}{5}\\-\frac{4}{5} &-\frac {2}{5}&0\\\frac{9}{25}&\frac{12}{25} &-\frac{1}{5}\end{pmatrix}\)
Adesso moltiplica tale matrice per il vettore ( colonna) (x,y,z) ed eguaglia al vettore nullo (0,0,0) :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} -\frac {13}{25}&\frac{16}{25}&-\frac {3}{5}\\-\frac{4}{5} &-\frac {2}{5}&0\\\frac{9}{25}&\frac{12}{25} &-\frac{1}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
Ottieni così il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 13x-16y+15z=0\\2x+y=0\\9x+12y-5z=0\end{cases}\)
Ovviamente delle tre equazioni del sistema solo due sono indipendenti e quindi il sistema precedente si riduce ad esempio a:
\(\displaystyle \begin{cases} 2x+y=0\\9x+12y-5z=0\end{cases}\)
che rappresenta la retta ( intersezione di due piani ) asse della rotazione.
\(\displaystyle \begin{pmatrix} -\frac {13}{25}&\frac{16}{25}&-\frac {3}{5}\\-\frac{4}{5} &-\frac {2}{5}&0\\\frac{9}{25}&\frac{12}{25} &-\frac{1}{5}\end{pmatrix}\)
Adesso moltiplica tale matrice per il vettore ( colonna) (x,y,z) ed eguaglia al vettore nullo (0,0,0) :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} -\frac {13}{25}&\frac{16}{25}&-\frac {3}{5}\\-\frac{4}{5} &-\frac {2}{5}&0\\\frac{9}{25}&\frac{12}{25} &-\frac{1}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)
Ottieni così il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} 13x-16y+15z=0\\2x+y=0\\9x+12y-5z=0\end{cases}\)
Ovviamente delle tre equazioni del sistema solo due sono indipendenti e quindi il sistema precedente si riduce ad esempio a:
\(\displaystyle \begin{cases} 2x+y=0\\9x+12y-5z=0\end{cases}\)
che rappresenta la retta ( intersezione di due piani ) asse della rotazione.
Grazie mille per la risposta, vediamo se ho capito 
.
Adesso ho la seguente matrice: $((sqrt(3)/4,-k/2,3/4),(1/4,sqrt(3)/2,sqrt(3)/4),(-sqrt(3)/2,0,k/2))$
e devo determinare l'asse della rotazione, calcolando prima il valore di k per cui la matrice rappresenta una rotazione.
Ho trovato che per k=1 la matrice è una rotazione e ho scritto la matrice degli autovalori relativa all'autovalore 1, dunque:
$((sqrt(3)/4-1,-1/2,3/4),(1/4,sqrt(3)/2-1,sqrt(3)/4),(-sqrt(3)/2,0,-1/2))$ $((x),(y),(z))$ = $((0),(0),(0))$
La soluzione deve venire: 2x+y-z=0 e $(sqrt(3))$x+z=0 ma non mi riesce, o meglio viene soltanto l'ultima equazione.
. Adesso ho la seguente matrice: $((sqrt(3)/4,-k/2,3/4),(1/4,sqrt(3)/2,sqrt(3)/4),(-sqrt(3)/2,0,k/2))$
e devo determinare l'asse della rotazione, calcolando prima il valore di k per cui la matrice rappresenta una rotazione.
Ho trovato che per k=1 la matrice è una rotazione e ho scritto la matrice degli autovalori relativa all'autovalore 1, dunque:
$((sqrt(3)/4-1,-1/2,3/4),(1/4,sqrt(3)/2-1,sqrt(3)/4),(-sqrt(3)/2,0,-1/2))$ $((x),(y),(z))$ = $((0),(0),(0))$
La soluzione deve venire: 2x+y-z=0 e $(sqrt(3))$x+z=0 ma non mi riesce, o meglio viene soltanto l'ultima equazione.
I calcoli vanno bene ,devi solo fare una opportuna combinazione delle equazioni del sistema per ottenere il risultato voluto.Precisamente in questo caso prendo la prima e la terza equazione del sistema stesso ed ho:
\(\displaystyle \begin{cases} (\frac{\sqrt3}{4}-1)x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}z=0\\-\frac{\sqrt3}{2}x-\frac{1}{2}z=0\end{cases}\)
A questo punto alla prima equazione sostituisco la prima stessa moltiplicata per 2 e sommata alla terza ed ho il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} -2x-y+z=0\\-\frac{\sqrt3}{2}x-\frac{1}{2}z=0\end{cases}\)
che equivale appunto al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} 2x+y-z=0\\ x \sqrt3+z=0\end{cases}\)
Comunque non hai l'obbligo di fare tutte queste acrobazie : il sistema che hai trovato tu può andare bene egualmente...
\(\displaystyle \begin{cases} (\frac{\sqrt3}{4}-1)x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}z=0\\-\frac{\sqrt3}{2}x-\frac{1}{2}z=0\end{cases}\)
A questo punto alla prima equazione sostituisco la prima stessa moltiplicata per 2 e sommata alla terza ed ho il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} -2x-y+z=0\\-\frac{\sqrt3}{2}x-\frac{1}{2}z=0\end{cases}\)
che equivale appunto al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} 2x+y-z=0\\ x \sqrt3+z=0\end{cases}\)
Comunque non hai l'obbligo di fare tutte queste acrobazie : il sistema che hai trovato tu può andare bene egualmente...
Grazie mille, sei stato chiarissimo!
scusate ho un altro esercizio sull'equazione dell'asse di rotazione che non riesco a svolgere per la presenza di questi 3 punti
l'esercizio dice : quali delle seguenti sono equazioni dell'asse di rotazione che manda i punti { 1 0 1 } su { -3/25 -4/5 29/25 } ,
{ 0 1 -1 } su { 31/25 3/5 -8/25 } , { -1 0 1 } su { -27/25 4/5 11/25}
la risposta esatta e quella da voi già fornita { 2x + y = 0
{ 9x + 12y - 5z =0
come giungo a questa soluzione avendo una matrice di rotazione diversa?
ho provato con l 'autovalore uguale ad uno..applicato dopo aver sottratto A-A' per tutti i vettori presenti ma non riesce comunque.
grazie per la pazienza.
l'esercizio dice : quali delle seguenti sono equazioni dell'asse di rotazione che manda i punti { 1 0 1 } su { -3/25 -4/5 29/25 } ,
{ 0 1 -1 } su { 31/25 3/5 -8/25 } , { -1 0 1 } su { -27/25 4/5 11/25}
la risposta esatta e quella da voi già fornita { 2x + y = 0
{ 9x + 12y - 5z =0
come giungo a questa soluzione avendo una matrice di rotazione diversa?
ho provato con l 'autovalore uguale ad uno..applicato dopo aver sottratto A-A' per tutti i vettori presenti ma non riesce comunque.
grazie per la pazienza.
Si tratta di un endomorfismo $f$ su $mathbb{RR}^3$ nel quale i 3 vettori ( l.i.) $(1,0,1)^t,(0,1,-1)^t,(-1,0,1)^t$ hanno per
immagini rispettivamente i vettori: $(-3/{25},-20/{25},{29}/{25})^t,({31}/{25},{15}/{25},-8/{25})^t,(-{27}/{25},{20}/{25},{11}/{25})^t$
Pertanto, in virtù di regole note, l'endomorfismo $f$ è univocamenyte determinato. Con i soliti procedimenti di trova che
le equazioni di $f$ sono :
$f((x,y,z)^t)=1/{25}\cdot ((12x+16y-15z),(-20x+15y+0z),(9x+12y+20z))$
Questo endomorfismo ha un solo autovalore reale dato da: $lambda=1$ [come deve essere, dato che si tratta di una rotazione]
e, fatti i calcoli, si trova che l'autospazio corrispondente ha equazioni :
\begin{cases}2x+y=0\\9x+12y-5z=0\end{cases}
o più semplicemente:
\begin{cases}2x+y=0\\3x+z=0\end{cases}
E queste sono le richieste equazioni dell'asse di rotazione.
immagini rispettivamente i vettori: $(-3/{25},-20/{25},{29}/{25})^t,({31}/{25},{15}/{25},-8/{25})^t,(-{27}/{25},{20}/{25},{11}/{25})^t$
Pertanto, in virtù di regole note, l'endomorfismo $f$ è univocamenyte determinato. Con i soliti procedimenti di trova che
le equazioni di $f$ sono :
$f((x,y,z)^t)=1/{25}\cdot ((12x+16y-15z),(-20x+15y+0z),(9x+12y+20z))$
Questo endomorfismo ha un solo autovalore reale dato da: $lambda=1$ [come deve essere, dato che si tratta di una rotazione]
e, fatti i calcoli, si trova che l'autospazio corrispondente ha equazioni :
\begin{cases}2x+y=0\\9x+12y-5z=0\end{cases}
o più semplicemente:
\begin{cases}2x+y=0\\3x+z=0\end{cases}
E queste sono le richieste equazioni dell'asse di rotazione.
scusami ancora..potresti dirmi i soliti procedimenti per trovare le equazioni di f?
dopo l autovalore mi è chiaro..il mio problema sono i calcoli tra i 6 vettori.
come giungi a 1/25?
potresti spiegarmi tutti i passaggi?
grazie ancora.
dopo l autovalore mi è chiaro..il mio problema sono i calcoli tra i 6 vettori.
come giungi a 1/25?
potresti spiegarmi tutti i passaggi?
grazie ancora.
Siano $e_1,e_2,e_3$ i versori fondamentali di un riferimento cartesiano ortogonale
in $E_3$. Allora puoi scrivere che :
$(1,0,1)^t=e_1+e_3$
$(0,1,-1)^t=e_2-e_3$
$(-1,0,1)^t=-e_1+e_3$
Passando alle immagini hai:
$f((1,0,1)^t)=f(e_1)+f(e_3)$
$f((0,1,-1)^t)=f(e_2)-f(e_3)$
$f((-1,0,1)^t)=-f(e_1)+f(e_3)$
Cioé:
$f(e_1)+f(e_3)=(-{3}/{25},-{20}/{25},{29}/{25})^t$
$f(e_2)-f(e_3)=({31}/{25},{15}/{25},-{8}/{25})^t$
$-f(e_1)+f(e_3)=(-{27}/{25},{20}/{25},{11}/{25})^t$
Da qui si ottiene che :
$f(e_1)=({12}/{25},-{20}/{25},{9}/{25})^t$
$f(e_2)=({16}/{25},{15}/{25},{12}/{25})^t$
$f(e_3)=(-{15}/{25},{0}/{25},{20}/{25})^t$
Gli ultimi 3 risultati sono i vettori colonna della matrice A della rotazione f
e quindi:
$A=1/{25}((12,16,-15),(-20,15,0),(9,12,20))$
L'equazione della rotazione f sarà:
$f((x,y,z)^t)=A\cdot ((x,y,t)^t)$
Facendo i calcoli trovi il risultato che to ho già indicato.
in $E_3$. Allora puoi scrivere che :
$(1,0,1)^t=e_1+e_3$
$(0,1,-1)^t=e_2-e_3$
$(-1,0,1)^t=-e_1+e_3$
Passando alle immagini hai:
$f((1,0,1)^t)=f(e_1)+f(e_3)$
$f((0,1,-1)^t)=f(e_2)-f(e_3)$
$f((-1,0,1)^t)=-f(e_1)+f(e_3)$
Cioé:
$f(e_1)+f(e_3)=(-{3}/{25},-{20}/{25},{29}/{25})^t$
$f(e_2)-f(e_3)=({31}/{25},{15}/{25},-{8}/{25})^t$
$-f(e_1)+f(e_3)=(-{27}/{25},{20}/{25},{11}/{25})^t$
Da qui si ottiene che :
$f(e_1)=({12}/{25},-{20}/{25},{9}/{25})^t$
$f(e_2)=({16}/{25},{15}/{25},{12}/{25})^t$
$f(e_3)=(-{15}/{25},{0}/{25},{20}/{25})^t$
Gli ultimi 3 risultati sono i vettori colonna della matrice A della rotazione f
e quindi:
$A=1/{25}((12,16,-15),(-20,15,0),(9,12,20))$
L'equazione della rotazione f sarà:
$f((x,y,z)^t)=A\cdot ((x,y,t)^t)$
Facendo i calcoli trovi il risultato che to ho già indicato.
grazie mille =)
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