Asintoti conica

[Musicam]

Salve, come trovare gli asintoti di una conica? grazie

[xdom="Seneca"]Alcuni dei seguenti post provengono dalla coda della discussione coniche-t99482.html[/xdom]

[psycho92]

se se hai studiato geometria proiettiva posso ricordati questo metodo,trovi il centro poi prendi i punti all'infinito della conica intersecando con la retta impropria,quindi conosci le direzioni degli asintoti e questo punto scrivi le due rette con i vettori direttori che hanno le direzioni delle rette dei punti impropri e poi imponi il passaggio per il centro ricordandoti che puoi dividere per x3 quindi ottieni una retta in forma cartesiana.. e che la retta ax+by+c=0 ha punto all'infinito (-b,a,0) da questo ricavi la direzione del vettore direttore.METODO 2 porti tramite un cambio delle coordinate la conica in forma canonica cioè ti metti nel sistema di riferimento in cui la tua iperbole è in forma canonica quindi gli asintoti sono le rette -(b/a)x=0 e (b7a)=0 queste rette però valgono rispetto a quel sistema di riferimento quindi devi fare un'altro cambio di coordinate per riportarle nella forma che ti interessa,spero di averti aiutato,se conosci i metodi di geometria proiettiva usa quelli.

[Musicam]

mi faresti un esempio del primo metodo?..
un'altra domanda: il centro della parabola come si determina?

[psycho92]

certo! prendi questa conica:x^2-4xy+y^2-2x-6y=0 faccio tutto con la geometria proiettiva...intanto guardo la matrice associata alla conica vedo che det A è diverso da 0,quindi non è degenere e vedo che det B è <0 quindi è un iperbole,ma usiamola ancora di più la geometria proiettiva calcoliamo i punti all'infinito della conica che non sono altro che le intersezioni con la retta impropria x3=0 ovviamente mi sono messo in coordinate polari quindi trovo i punti impropri (1;1+2 radice3;0) e (1;1-2radice3;0) ok abbiamo trovato i punti all'infinito della conica,come vedi sono distinti e reali quindi questo conferma che è un iperbole(praticamente il fatto detb<0 deriva proprio da questo ma ora lasciamo stare...) allora adesso dobbiamo trovare il centro siccome l' iperbole è una conica a centro il centro(scusa il gioco di parole) sarà l'intersezione di due diametri,ovvero le polari per punti impropri prendiamone due a caso i più semplici (1,0,0) e (0,1,0) intersecando le rette polari per quei due punti trovo il centro.. quindi le rette polari(portate in coordinate cartesiane sono): x-2y-1=0 e -2x+y-3=0 ok le interseco e trovo il centro per quello detto sopra,ovvero tutti i diametri passano per il centro,adesso dobbiamo trovare gli asintoti,sappiamo però le direzioni dei punti all'infinito della conica...e sappiamo che tutte le rette del tipo ax+by+k=0 hanno quella direzione... ma qual'è la direzione quindi sono proprio le coordinate del punto improprio senza la coordinata omogenea ovvero le direzioni saranno (1,2+ radice 3 ) e l'altra (1,2-radice 3) come vedi ho eliminato la coordinata numero 3 sono in coordinate cartesiane... benissimo adesso considero le rette con quei vettori direttori , ed impongo il passaggio per il centro... a questo punto non resta che portare in forma cartesiana le due rette... per quanto riguarda la parabola bhe c'è sempre il vecchio metodo: assi sono autovettori,con le rotazioni ammazzi il termine misto a quel punto completi il quadrato e trovi la giusta traslazione,e quindi il centro,sennò usando la geometria proiettiva gli assi li trovi facilmente però il centro non saprei perchè i metodi della geometria proiettiva non vanno molto d'accordo con la parabola...

[A.l.e.c.s]

gli asintoti sono le rette che passano per il centro della conica e hanno parametri direttori \(\displaystyle l \), \(\displaystyle m \) che si trovano nel seguente modo..: \(\displaystyle a_{11}l^2 + 2a_{12}lm + a_{22}m^2 = 0 \) dove \(\displaystyle a_{11} \) è il coefficiente di \(\displaystyle x^2 \) , \(\displaystyle a_{12} \) è il coefficiente di \(\displaystyle xy \) (diviso per 2) e \(\displaystyle a_{22} \) è il coefficiente di \(\displaystyle y^2 \) risolvi questa equazione imponendo che \(\displaystyle m = 1 \) (questa condizione ha carattere generale) poi ti troverai 2 coppie di parametri direttori \(\displaystyle (l ,1) \) , \(\displaystyle (l' , 1) \) che sono i vettori direzione dei tuoi asintoti..conoscendo i parametri direttori e i punti per cui devono passare ovvero il centro della conica puoi scrivere le equazioni dei asintoti.. che sarebbero : \(\displaystyle m(x \pm x_0) + (-l)(y \pm y_0)= 0 \) ; \(\displaystyle m(x \pm x_0) + (-l')(y \pm y_0)= 0 \) svolgendo queste equazioni ottieni i tuoi asintoti in equazioni cartesiane..

[Musicam]

oh mamma..mi avete detto 2 metodi e ora?

-i punti all'infinito come si calcolano? pogno x3=0, lo sostituisco nella conica e poi?..non mi trovo con te :S.
e poi mi scriveresti i passaggi per determinare l'asintoto? la parte finale...dove devo imporre il passaggio per il centro.......

xo e yo cosa sono?

[psycho92]

il metodo scritto da tupac è il mio metodo senza tutti i passaggi che ti ho detto io ma a quanto pare non hai fatto la geometria proiettiva quindi è inutile imparsi questo metodo... perchè sarebbe stupido impararlo meccanicamente ti ho scritto che puoi farlo anche in altri modo tipo cambi di coordinate

[A.l.e.c.s]

\(\displaystyle x_0 \) ; \(\displaystyle y_0 \) sono le coordinate del centro della conica..