Area di un triangolo in $ epsilon^4 $
Buongiorno a tutti! Ho il seguente problema che mi affligge da un po' di giorni. Devo trovare l'area di un triangolo conoscendone i suoi vertici $ A $, $ B $ e $ C $. Questi punti appartengono però a uno spazio di dimensione 4.
Sono riuscito a risolvere il problema facendo uso della formula di Erone:
$ \mathcal(A)\ = root()(p(p-a)(p-b)(p-c)) $
Dove $ a $, $ b $ e $ c $ sono rispettivamente le distante $ AB $, $ BC $ e $ AC $ che trovo ognuna con la seguente formula:
$ root()((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 +(z_2-z_1)^2+(k_2-k_1)^2 $
e $ p $ è il semi-perimetro del triangolo.
Il metodo è parecchio lungo però. Mi chiedevo se ci fosse un metodo più breve che facesse ad esempio uso del calcolo di particolari determinanti un po' come succede in $ epsilon^2 $ e in $ epsilon^3 $.
Grazie
Sono riuscito a risolvere il problema facendo uso della formula di Erone:
$ \mathcal(A)\ = root()(p(p-a)(p-b)(p-c)) $
Dove $ a $, $ b $ e $ c $ sono rispettivamente le distante $ AB $, $ BC $ e $ AC $ che trovo ognuna con la seguente formula:
$ root()((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 +(z_2-z_1)^2+(k_2-k_1)^2 $
e $ p $ è il semi-perimetro del triangolo.
Il metodo è parecchio lungo però. Mi chiedevo se ci fosse un metodo più breve che facesse ad esempio uso del calcolo di particolari determinanti un po' come succede in $ epsilon^2 $ e in $ epsilon^3 $.
Grazie
Risposte
Credo che la mia soluzione risolva la cosa in modo più rapido del teorema di Erone, ma in effetti penso che ci sia il modo di risolvere tutto con il calcolo di qualche determinante magico.
Dati tre punti su un piano (per semplicità diciamo dati due vettori in uno spazio $2$-dimensionale, $v,w$), l'area del parallelogramma individuato dai due vettori è data $A = |v| \cdot |w| \cdot \sin (\alpha)$ dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra i due vettori, preso in modo che il seno sia positivo.
In algebra lineare c'è un metodo standard per calcolare il coseno dell'angolo compreso tra due vettori, che corrisponde al prodotto scalare dei due vettori normalizzati. Dati perciò due vettori $v,w$ in uno spazio a $n$ dimensioni, si può procedere come segue:
- prendiamo $\hat{v},\hat{w}$ versori dei due vettori che abbiamo e calcoliamo $\cos(\alpha) = \hat{v} \cdot \hat{w}$, prodotto scalare dei due vettori considerati, che è il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori.
- prendiamo il corrispondente seno, $\sin (\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2 (\alpha)}$.
- calcoliamo l'area del parallelogramma, $A = |v| \cdot |w| \cdot \sin(\alpha)$.
- se vogliamo l'area del triangolo dividiamo per $2$.
Dati tre punti su un piano (per semplicità diciamo dati due vettori in uno spazio $2$-dimensionale, $v,w$), l'area del parallelogramma individuato dai due vettori è data $A = |v| \cdot |w| \cdot \sin (\alpha)$ dove $\alpha$ è l'angolo compreso tra i due vettori, preso in modo che il seno sia positivo.
In algebra lineare c'è un metodo standard per calcolare il coseno dell'angolo compreso tra due vettori, che corrisponde al prodotto scalare dei due vettori normalizzati. Dati perciò due vettori $v,w$ in uno spazio a $n$ dimensioni, si può procedere come segue:
- prendiamo $\hat{v},\hat{w}$ versori dei due vettori che abbiamo e calcoliamo $\cos(\alpha) = \hat{v} \cdot \hat{w}$, prodotto scalare dei due vettori considerati, che è il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori.
- prendiamo il corrispondente seno, $\sin (\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2 (\alpha)}$.
- calcoliamo l'area del parallelogramma, $A = |v| \cdot |w| \cdot \sin(\alpha)$.
- se vogliamo l'area del triangolo dividiamo per $2$.
Ottimo Pappappero (un nome una sicurezza).
Si può fare un pelino meglio notando che il prodotto vettoriale è $v \times u = |v||u|sin\alpha$
Si può fare un pelino meglio notando che il prodotto vettoriale è $v \times u = |v||u|sin\alpha$
@Quinzio: scusami, ma come definisci il prodotto vettoriale in uno spazio di dimensione 4 (o comunque maggiore di 3)?
"Paolo90":
@Quinzio: scusami, ma come definisci il prodotto vettoriale in uno spazio di dimensione 4 (o comunque maggiore di 3)?
Così: $v \times u = |v||u|sin\alpha$...
Scherzo... ho detto una c., in effetti non serve a nulla.
In generale si può definire una sorta di prodotto vettoriale in dimensione qualsiasi. Si veda ad esempio qui, verso la fine. Tuttavia, sebbene si possa usare per calcolare l'area di parallelogrammi immersi in spazi qualsiasi, questa generalizzazione del prodotto vettoriale è qualcosa che (in dimensione $n$) associa a $n-1$ vettori un vettore ortogonale il cui modulo dipende dal modulo e dagli angoli dei vettori dati.
Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione $n$, supponiamo di avere una forma di volume (si chiama così in italiano?), cioè una applicazione $n$-lineare su $V \times ... \times V$, non degenere, ad esempio un determinante, cioè una mappa $\omega: V \times ... \times V \to \RR$ (se lo spazio vettoriale è su $\RR$). Per dualità, questa forma corrisponde a una applicazione multilineare $\omega_{n-1,1} : V \times ... \times V \to V^{\vee}$, dove $\vee$ indica il duale. Se $V$ ammette un prodotto scalare, allora si può identificare $V$ con il suo duale $V^\vee$, e $\omega_{n-1,1}$ diventa una applicazione multilineare a valori in $V$. Questa costruzione, in $3$-dimensioni usando il determinante come $\omega$ dà luogo proprio al prodotto vettoriale.
In ogni caso la spiegazione di wiki è certamente più chiara.
Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione $n$, supponiamo di avere una forma di volume (si chiama così in italiano?), cioè una applicazione $n$-lineare su $V \times ... \times V$, non degenere, ad esempio un determinante, cioè una mappa $\omega: V \times ... \times V \to \RR$ (se lo spazio vettoriale è su $\RR$). Per dualità, questa forma corrisponde a una applicazione multilineare $\omega_{n-1,1} : V \times ... \times V \to V^{\vee}$, dove $\vee$ indica il duale. Se $V$ ammette un prodotto scalare, allora si può identificare $V$ con il suo duale $V^\vee$, e $\omega_{n-1,1}$ diventa una applicazione multilineare a valori in $V$. Questa costruzione, in $3$-dimensioni usando il determinante come $\omega$ dà luogo proprio al prodotto vettoriale.
In ogni caso la spiegazione di wiki è certamente più chiara.
@Pappappero: in italiano si parla proprio di forma di volume. Nota che non si tratta però di una mappa $n$-lineare qualsiasi, deve essere una $n$-forma e quindi, in pratica, una specie di determinante se si desidera avere proprietà simili al prodotto vettoriale. In contesti come questi direi che si prende sempre il determinante usuale.
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