Area di un ottagono

[etec83]

Ma oggi mi sono imbattuto nella pagina di wikipedia dell'ottagono e praticamente c'è scritto che

[tex]A = 2*a^2*cot(\frac{\pi}{8})[/tex]

dove "a" è il lato, all'inizio credevo fosse l'apotema e non mi tornava nulla, poi ho capito che si intendeva il lato.
A me però sinceramente pare sbagliata la formula, non dovrebbe essere

[tex]A = 2*a^2*cot(\frac{\pi}{16})[/tex] ??

[Seneca1]

Troviamo l'area di uno spicchio dell'ottagono (l'area di uno dei triangolini che si ottengono suddividendo l'ottagono in 8 parti uguali).

Sia $r$ il raggio del cerchio circoscritto all'ottagono. Allora:

$r = 1/(2 sin(pi/8)) * a$ (teorema della corda)

l'altezza $h$ relativa alla base $r$ si ottiene scrivendo:

$h = r * sin(pi/4) = 1/(2 sin(pi/8)) * a * sin(pi/4)$ (teoremi sui triangoli rettangoli)

Allora l'area del triangolo è:

$A_s = 1/2 * h * r = 1/2 * [ 1/(2 sin(pi/8)) * a * sin(pi/4) ] * 1/(2 sin(pi/8)) * a$

Ma $sin(pi/4) = sin( 2 * pi/8 ) = 2 * sin(pi/8) * cos(pi/8)$ (formule di duplicazione del seno)

L'area si può scrivere come:

$A_s = 1/4 (cos(pi/8))/(sin(pi/8)) * a^2$

I triangoli che compongono l'ottagono sono 8, quindi l'area dell'ottagono è $8 * A_s = 2 * a^2 * cot(pi/8)$ .

[etec83]

Ah, ho sbagliato perché avevo sbagliato a valutare l'angolo del triangolo... facevo i conti considerando [tex]\frac{2\pi}{8}[/tex], anziché [tex]\frac{\pi}{8}[/tex].
Ora sì, grazie.

[Seneca1]

"etec83":Ah, ho sbagliato perché avevo sbagliato a valutare l'angolo del triangolo... facevo i conti considerando [tex]\frac{2\pi}{8}[/tex], anziché [tex]\frac{\pi}{8}[/tex].
Ora sì, grazie.

L'angolo del triangolo che credo tu stia considerando misura $2 pi/8 = pi/4$ !

Il $pi/8$ salta fuori dal teorema della corda; si richiede l'angolo alla circonferenza, non quello al centro, il quale insiste sulla corda $a$.