Area

jestripa-votailprof
[asvg]axes ( );
dot ( [1.4 , 0] );
dot ( [1 , 1] );
dot ( [0 , 0] );
dot ( [1 , -1] );
plot ("-x");
arc ( [1.4 , 0] , [1 , 1] , 1.4 );
arc ( [1 , -1] , [1.4 , 0], 1.4 );
arc ( [0 , 0] , [1 , 1] );
var A= [1 , 1];
text(A , "A" , left );
var C= [ 1 , -1];
text(C , "C" , left);
var B= [1.4 , 0];
text(B , "B" , right);[/asvg]

lesercizio mi chiede di calcolare l'area della figura sopra disegnata formata da :
$y=(e^x-1)/(e-1)$
$x^2+y^2=2$
$y=-x$

i punti evidenziati sono:
$A=(1,1)$
$B=(sqrt2,0)$
$C=(1,-1)$

come devo impostare l'ntegrale?
mi sa che non ce la faccio con uno solo ma ce ne vogliono due o tre,giusto?

Risposte
Sk_Anonymous
Direi che basta un integrale e un po' di geometria euclidea, ti conviene calcolare l'area del settore circolare OAC, togliere il triangolino OAD, con D(1, 0) e aggiungere l'integrale dela funzione nell'intervallo [0, 1]. Risolvendo il problema solo con integrali ci sono delle difficoltà con la circonferenza, che non è una funzione. Quando ci sono di mezzo dei cerchi è sempre più semplice ricorrere alla geometria euclidea che calcolare l'integrale.

jestripa-votailprof
ciao amelia!
non ho capito nulla!
partiamo dal principio:
1-il trialgolino che dici tu OAD ha l'ipotenusa curva!!!!!
come si fa a calcolare l'area di questo triangolo ambiguo??
a meno che non lo ipotizzi retto ,allora:
$S_(OAD)=sqrt2/2$ area del triangolino

2.per il settore circolare vale la stessa cosa di prima,un lato è curvo!
e poi essendo
$S_(OAC)=RL/2$
non so come si fa a calcolare L!

3-l'integrale devo aggiungere suppongo che sia per la funzione $(e^x-1)/e-1$,giusto?

Marco512
Ma hai un sacco di esercizi!

Concettualmente devi integrare la funzione f(x,y) = 1 sul dominio disegnato in figura, dunque un integrale doppio.

Questo integrale si spezza in due parti

$\int_0^1\int_{-x}^{(e^x-1)/(e-1)}dxdy +$ $\int_1^\sqrt(2)\int_{- \sqrt(2-x^2)}^{ \sqrt(2-x^2)}dxdy$

jestripa-votailprof
eh,sì!
sono andata al dipartimento ed ho preso tutti i compiti del mio prof che potevo!
ovviamente nn ci sono le soluzioni,ed io mi ritrovo anche da sola a svolgerli quindi l'unico confronto che ho è questo sito a me molto caro!
grazie ancora!
ps.per amelia:anche se al mio prof son sicura che interessa la risposta di marco,sarei curiosa di sapere come l'avresti fatto te con la geometria euclidea!sempre se ne hai voglia!

jestripa-votailprof
ehi marco 512!
se inizio a capire qualcosa su questi domini,devo dirti che nell'integrale hai invertito i dx e dy:
prima ci va dy e poi dx!cioè:
$int_0^1(int_-x^((e^x-1)/(e-1))dy)dx$
giusto?
perchè stai guardando i fili verticali,o no?

jestripa-votailprof
ho un dubbio su questo passaggio:
$int_0^1y|_(-x)^((e^x-1)/(e-1))dx=int_0^1((e^x-1)/(e-1)+x)dx$
posso portare fuori $e-1$?
cioè:
$1/(e-1)int_0^1(e^x-1+x)dx$
è una banalità,lo so,ma ho il dubbio!
prima mi sa che devo fare il minimo comune multiplo e poi lo posso portare fuori,giusto?

jestripa-votailprof
ciao marco 512!
mi sapresti dire qualcosa sul dubbio che ti ho scritto ieri?

ELWOOD1
NO!
all'interno dell'integrale hai una somma di 2 frazioni! prima devi effettuare tale somma e poi puoi portar fuori quel denominatore

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