Applicazioni proiettive

[Dorian1]

Siano $phi_0$ e $phi_1$ applicazioni lineari di $V$ in $W$ sottospazi vettoriali sul corpo $K$. Sia inoltre $f$ l'applicazione proiettiva da $P(V)$ in $P(W)$ che ha $phi_0$ e $phi_1$ come soprastanti. Allora esiste uno scalare $alpha$ tale che $phi_0 (v)$ = $alpha*phi_1 (v)$ , $AA v in V$




Ho provato a mostrare questo fatto così:

(i) Mostro l'esistenza di un generico $alpha in K$:


per definizione di applicazione proiettiva si ha che, $AA sigma W in P(V)$:

$f(sigma W)$ = $sigma(phi_0(W))$ = $sigma(phi_1(W))$ e quindi l'uguaglianza tra i due sottospazi $phi_0(W)$ e $phi_1(W)$. E' quindi immediato affermare che le immagini di ciascun vettore di $V$ dovranno essere proporzionali.

(ii) Mostro l'unicità di $alpha$

Possiamo ora affermare che:

$phi_0 (v)$ = $alpha*phi_1 (v)$ e $phi_0 (w)$ = $beta*phi_1 (w)$ , $AA v$ , $w in V$. Vogliamo poter affermare che $alpha$ = $beta$;

Ho fatto così:
$phi_0 (v)$ - $alpha*phi_1 (v)$ = $0$ = $phi_0 (w)$ - $beta*phi_1 (w)$ sse $phi_0 (v)$ - $phi_0 (w)$ = $alpha*phi_1 (v)$ - $beta*phi_1 (w)$ sse (applicando l'ipotesi di linearità) $phi_0(v - w)$ = $phi_1(alpha*v - beta*w)$ ...

$v - w$ è un vettore di $V$, quindi anche per lui esiste un opportuno coefficiente $gamma$ tale che:

... $phi_0(v - w)$ = $gamma* phi_1(v - w)$ sse (usando la linearità e distribuendo $gamma$) $phi_0(v - w)$ = $phi_1(gamma*v - gamma*w)$ sse $gamma$ = $alpha$ = $beta$.




Si può considerare una dimostrazione??????

[Dorian1]

Nessuno dice la sua???