Applicazioni lineari suriettive e/o iniettive

[Ranius1]

Data una applicazione lineare del tipo $f:RR^n -> RR^m$

Dalla teoria so che un'applicazione è iniettiva se e solo se la $dimkerf = 0$, ovvero il sistema omogeneo associato alla applicazione ha come soluzione solo quella banale fatta da una n-upla di zeri.
So che un'applicazione è suriettiva se se solo se $dimImf=m$ perchè in questo caso $Imf$ e $RR^m$ coincidono.
Inoltre so che $n=dimImf + dimkerf$, quindi per applicazioni $m=n$ se è iniettiva è anche suriettiva e viceversa.

Nel caso in cui $n>m$ l'applicazione non potrà essere mai iniettiva perchè $dimkerf=n-dimImf$ ma $dimImf<=m$ per cui in ogni caso $dimkerf>0$. Tale applicazione potrà essere suriettiva a patto che $dimImf=m$. Corretto?
Nel caso in cui $n dimkerf=0$. Corretto?

Sono due domande banali, ma è un argomento che abbiamo fatto molto superficialmente e voglio essere certo di averlo capito a fondo. Le due affermazioni da me scritte sono corrette?

Grazie

[cirasa]

Tutto corretto.
Tieni conto che quanto hai detto vale per ogni applicazione lineare $f:V to W$ dove $V$ e $W$ sono spazi vettoriali di dimensione rispettivamente $n$ e $m$.

[Daddarius1]

Riesumo questo post: se devo provare che un'applicazione lineare suriettiva, è anche iniettiva, devo distiunguere i 3 casi: $n=m, nm$ ?

[Thyeme]

Stai parlando di dimostrazione generale o come esercizio?
In un esercizio devi solo osservare se la $dim Ker f=0$ e se la $dim Im f = m$ e da li trai le tue conclusioni..

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi le condizioni necessarie e sufficienti per una funzione iniettiva o suriettiva in una applicazione lineare $f : V -> W$ sono:

- Iniettiva: $dim Kerf = 0$
- Suriettiva: $dim Imf = dim W$

Giusto? Se so questo posso dare per certo che sia iniettiva o suriettiva?

[mexuss]

si questo è corretto!!