Applicazioni lineari nello spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2
Ciao a tutti, domani ho l'esame di geometria I e purtroppo non so svolgere questo esercizio, potreste aiutarmi? La traccia è:
Nello spazio $RR_2[x]$ dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata a coefficienti reali, consideriamo i polinomi $p_1 (x) = x^2 + 2x + 1$ ; $p_2 (x) = x^2 + 1$ ; $p_3 (x) = x^2$.
Sia $f: RR_2 [x] \to RR_2 [x]$ l'applicazione lineare tale che la matrice associata a f rispetto alla base $B=(p_1 (x), p_2 (x), p_3(x))$ (nel dominio e nel codominio) sia $ A = ((1, h^2 - h, 1),(h, 0, h), (0, h - 1, h - 1))$ .
Determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e nel codominio).
Nello spazio $RR_2[x]$ dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata a coefficienti reali, consideriamo i polinomi $p_1 (x) = x^2 + 2x + 1$ ; $p_2 (x) = x^2 + 1$ ; $p_3 (x) = x^2$.
Sia $f: RR_2 [x] \to RR_2 [x]$ l'applicazione lineare tale che la matrice associata a f rispetto alla base $B=(p_1 (x), p_2 (x), p_3(x))$ (nel dominio e nel codominio) sia $ A = ((1, h^2 - h, 1),(h, 0, h), (0, h - 1, h - 1))$ .
Determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e nel codominio).
Risposte
prima di tutto bisogna calcolare esplicitamente l'immagine dei vettori della base
$f(p_1(x))=1cdot(x^2+2x+1)+h(x^2+1)+0cdotx^2=(1+h)x^2+2x+1+h$
le altre 2 immagini le calcoli allo stesso modo
la base canonica dello spazio vettoriale è l'insieme ${1,x,x^2}$
ti scrivi $1,x$ come combinazione lineare della base che ti è stata data e calcoli $f(1)$ ed $f(x)$ sfruttando la linearità della funzione $f$
$f(p_1(x))=1cdot(x^2+2x+1)+h(x^2+1)+0cdotx^2=(1+h)x^2+2x+1+h$
le altre 2 immagini le calcoli allo stesso modo
la base canonica dello spazio vettoriale è l'insieme ${1,x,x^2}$
ti scrivi $1,x$ come combinazione lineare della base che ti è stata data e calcoli $f(1)$ ed $f(x)$ sfruttando la linearità della funzione $f$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo