Applicazioni lineari (esercizio)

[Pivot1]

Altro esercizio di algebra.

In R^3, rispetto alle base canonica B, sono dati i vettori:

v_1 = (1,2,0)
v_2 = (1,0,1)
v_3 = (-1,0,-2).

1)Verificare se tali vettori solo linearmente indipendenti e formano una base C di B.
2)Scriverela matrice, rispetto a C, dell'endomorfismo f di R^3 tale che/

f(v_1) = v_1 + v_2

f(_2) = 2v_1 - v_2

f(v_3) = - v_2 + v_3

3)Scrivere la matrice di f rispetto alla base di B.


Io ho pensato così:

punto 1)

1 2 0
1 0 1 = A
-1 0 -2


vedo che il det. è diverso da zero allora il rango è massimo ed è pari a 3.

quindi una base C di B sarà data dalle colonne della matrice che coinvolgono il minore fondamentale. (in questo caso è tutta le matrice) cioè

B_c = {(1,1,-1) (2 ,0,0) (0,1,-2) };

Secondo voi è corretto? Come si svolgono poi gli altri due punti?

Grazie anticipate.

[wedge]

i tre vettori sono l.i., questo ok

sai che
$f(v_1) = 1v_1 + 1v_2 +0v_3$
$f(v_2) = 2v_1 - 1v_2 +0v_3$
$f(v_3) = 0v_1 - 1v_2 + 1v_3 $

per costruire la matrice basta mettere in colonna i coefficienti dati, ossia la matrice sarà
1 2 0
1 -1 -1 = A
0 0 1

per il punto 3 scrivi $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ come combinazione lineare di$ e_1, e_2, e_3 $ e ripeti il procedimento

ciao

[Pivot1]

Ti ringrazio. Ma....

Perchè devo disporre i coefficienti proprio per colonne e non per righe?

Poi il punto tre non ho ben capito cosa hai fatto.

[wedge]

"Pivot":Ti ringrazio. Ma....
Perchè devo disporre i coefficienti proprio per colonne e non per righe?
Poi il punto tre non ho ben capito cosa hai fatto.

che libro di Algebra usi? Abate, Abeasis, Lang...? cerca il capitolo sulle matrici del cambiamento di base...

purtroppo per spiegarti quello che ho fatto dovrei avere il tempo di creare un disegno con le matrici... facciamo prima se cerchi sul tuo libro di testo (che sicuramente è più chiaro di me tra l'altro)

ciao

[Pivot1]

Ma parli dell'ultimo punto? Be, se si usa il cambiamento di base, io non l'ho acora studiato. Forse mi sono avventurato in cose un po più avanzate. Cmq. perchè devo considerare, nel secondo punto i vettori scritti per cononne e non per righe. Se poi effettuo una riduzione a gradini non trovo la stessa cosa?

[wedge]

"Pivot":Ma parli dell'ultimo punto? Be, se si usa il cambiamento di base, io non l'ho acora studiato. Forse mi sono avventurato in cose un po più avanzate. Cmq. perchè devo considerare, nel secondo punto i vettori scritti per cononne e non per righe. Se poi effettuo una riduzione a gradini non trovo la stessa cosa?

anche il punto due è un'applicazione del cambiamento di base... poichè consideri l'endomorfismo non rispetto alla base canonica ma ad un'altra base...
l'eliminazione di Gauss non ti è utile in questo caso credo